Theorem cshw0 13521

Description: A word cyclically shifted by 0 is the word itself. (Contributed by AV, 16-May-2018.) (Revised by AV, 20-May-2018.) (Revised by AV, 26-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cshw0	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊)

Proof of Theorem cshw0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0csh0 13520	. . . 4 ⊢ (∅ cyclShift 0) = ∅
2		oveq1 6642	. . . 4 ⊢ (∅ = 𝑊 → (∅ cyclShift 0) = (𝑊 cyclShift 0))
3		id 22	. . . 4 ⊢ (∅ = 𝑊 → ∅ = 𝑊)
4	1, 2, 3	3eqtr3a 2678	. . 3 ⊢ (∅ = 𝑊 → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊)
5	4	a1d 25	. 2 ⊢ (∅ = 𝑊 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊))
6		0z 11373	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
7		cshword 13518	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 0) = ((𝑊 substr ⟨(0 mod (#‘𝑊)), (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, (0 mod (#‘𝑊))⟩)))
8	6, 7	mpan2 706	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 0) = ((𝑊 substr ⟨(0 mod (#‘𝑊)), (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, (0 mod (#‘𝑊))⟩)))
9	8	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (𝑊 cyclShift 0) = ((𝑊 substr ⟨(0 mod (#‘𝑊)), (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, (0 mod (#‘𝑊))⟩)))
10		necom 2844	. . . . . 6 ⊢ (∅ ≠ 𝑊 ↔ 𝑊 ≠ ∅)
11		lennncl 13308	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
12		nnrp 11827	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (#‘𝑊) ∈ ℝ+)
13		0mod 12684	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℝ+ → (0 mod (#‘𝑊)) = 0)
14	13	opeq1d 4399	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℝ+ → ⟨(0 mod (#‘𝑊)), (#‘𝑊)⟩ = ⟨0, (#‘𝑊)⟩)
15	14	oveq2d 6651	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℝ+ → (𝑊 substr ⟨(0 mod (#‘𝑊)), (#‘𝑊)⟩) = (𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩))
16	13	opeq2d 4400	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℝ+ → ⟨0, (0 mod (#‘𝑊))⟩ = ⟨0, 0⟩)
17	16	oveq2d 6651	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℝ+ → (𝑊 substr ⟨0, (0 mod (#‘𝑊))⟩) = (𝑊 substr ⟨0, 0⟩))
18	15, 17	oveq12d 6653	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℝ+ → ((𝑊 substr ⟨(0 mod (#‘𝑊)), (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, (0 mod (#‘𝑊))⟩)) = ((𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, 0⟩)))
19	11, 12, 18	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 substr ⟨(0 mod (#‘𝑊)), (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, (0 mod (#‘𝑊))⟩)) = ((𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, 0⟩)))
20	10, 19	sylan2b 492	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → ((𝑊 substr ⟨(0 mod (#‘𝑊)), (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, (0 mod (#‘𝑊))⟩)) = ((𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, 0⟩)))
21	9, 20	eqtrd 2654	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (𝑊 cyclShift 0) = ((𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, 0⟩)))
22		swrdid 13410	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩) = 𝑊)
23	22	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩) = 𝑊)
24		swrd00 13400	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 substr ⟨0, 0⟩) = ∅
25	24	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (𝑊 substr ⟨0, 0⟩) = ∅)
26	23, 25	oveq12d 6653	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → ((𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, 0⟩)) = (𝑊 ++ ∅))
27		ccatrid 13353	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ++ ∅) = 𝑊)
28	27	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (𝑊 ++ ∅) = 𝑊)
29	21, 26, 28	3eqtrd 2658	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊)
30	29	expcom 451	. 2 ⊢ (∅ ≠ 𝑊 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊))
31	5, 30	pm2.61ine 2874	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1481   ∈ wcel 1988   ≠ wne 2791  ∅c0 3907  ⟨cop 4174  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635  0cc0 9921  ℕcn 11005  ℤcz 11362  ℝ⁺crp 11817   mod cmo 12651  #chash 13100  Word cword 13274   ++ cconcat 13276   substr csubstr 13278   cyclShift ccsh 13515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-sup 8333  df-inf 8334  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-rp 11818  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-fl 12576  df-mod 12652  df-hash 13101  df-word 13282  df-concat 13284  df-substr 13286  df-csh 13516

This theorem is referenced by:  cshwn  13524  2cshwcshw  13552  scshwfzeqfzo  13553  cshwrepswhash1  15790  crctcshlem4  26693  clwwisshclwws  26908  erclwwlksref  26914  erclwwlksnref  26926