MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cshimadifsn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cshimadifsn0 13785
Description: The image of a cyclically shifted word under its domain without its upper bound is the image of a cyclically shifted word under its domain without the number of shifted symbols. (Contributed by AV, 19-Mar-2021.)
Assertion
Ref Expression
cshimadifsn0 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) = ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) “ (0..^(𝑁 − 1))))

Proof of Theorem cshimadifsn0
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cshimadifsn 13784 . 2 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) = ((𝐹 cyclShift 𝐽) “ (1..^𝑁)))
2 elfzoel2 12677 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 elfzom1elp1fzo1 12776 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑦 + 1) ∈ (1..^𝑁))
43ex 397 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → (𝑦 + 1) ∈ (1..^𝑁)))
52, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → (𝑦 + 1) ∈ (1..^𝑁)))
653ad2ant3 1129 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → (𝑦 + 1) ∈ (1..^𝑁)))
76imp 393 . . . . 5 (((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑦 + 1) ∈ (1..^𝑁))
8 elfzo1elm1fzo0 12777 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (1..^𝑁) → (𝑥 − 1) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
98adantl 467 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑥 − 1) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
10 oveq1 6800 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑥 − 1) → (𝑦 + 1) = ((𝑥 − 1) + 1))
1110eqeq2d 2781 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑥 − 1) → (𝑥 = (𝑦 + 1) ↔ 𝑥 = ((𝑥 − 1) + 1)))
1211adantl 467 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (1..^𝑁)) ∧ 𝑦 = (𝑥 − 1)) → (𝑥 = (𝑦 + 1) ↔ 𝑥 = ((𝑥 − 1) + 1)))
13 elfzoelz 12678 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1..^𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
1413zcnd 11685 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1..^𝑁) → 𝑥 ∈ ℂ)
15 npcan1 10657 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥 − 1) + 1) = 𝑥)
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑥 − 1) + 1) = 𝑥)
1716eqcomd 2777 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (1..^𝑁) → 𝑥 = ((𝑥 − 1) + 1))
1817adantl 467 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑥 = ((𝑥 − 1) + 1))
199, 12, 18rspcedvd 3467 . . . . 5 (((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (1..^𝑁)) → ∃𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))𝑥 = (𝑦 + 1))
20 fveq2 6332 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑥) = ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘(𝑦 + 1)))
21203ad2ant3 1129 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) ∧ 𝑥 = (𝑦 + 1)) → ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑥) = ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘(𝑦 + 1)))
22 elfzoelz 12678 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → 𝑦 ∈ ℤ)
2322zcnd 11685 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
2423adantl 467 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑦 ∈ ℂ)
25 elfzoelz 12678 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
2625zcnd 11685 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℂ)
27263ad2ant3 1129 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐽 ∈ ℂ)
2827adantr 466 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝐽 ∈ ℂ)
29 1cnd 10258 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 1 ∈ ℂ)
30 add32r 10457 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑦 + (𝐽 + 1)) = ((𝑦 + 1) + 𝐽))
3124, 28, 29, 30syl3anc 1476 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑦 + (𝐽 + 1)) = ((𝑦 + 1) + 𝐽))
3231fvoveq1d 6815 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝐹‘((𝑦 + (𝐽 + 1)) mod (♯‘𝐹))) = (𝐹‘(((𝑦 + 1) + 𝐽) mod (♯‘𝐹))))
33 simpl1 1227 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝐹 ∈ Word 𝑆)
3425peano2zd 11687 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 + 1) ∈ ℤ)
35343ad2ant3 1129 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽 + 1) ∈ ℤ)
3635adantr 466 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝐽 + 1) ∈ ℤ)
37 fzossrbm1 12705 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℤ → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
382, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
3938sseld 3751 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → 𝑦 ∈ (0..^𝑁)))
40393ad2ant3 1129 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → 𝑦 ∈ (0..^𝑁)))
4140imp 393 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑦 ∈ (0..^𝑁))
42 oveq2 6801 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 = (♯‘𝐹) → (0..^𝑁) = (0..^(♯‘𝐹)))
4342eleq2d 2836 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 = (♯‘𝐹) → (𝑦 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
44433ad2ant2 1128 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑦 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
4544adantr 466 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑦 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
4641, 45mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
47 cshwidxmod 13758 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ (𝐽 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1))‘𝑦) = (𝐹‘((𝑦 + (𝐽 + 1)) mod (♯‘𝐹))))
4833, 36, 46, 47syl3anc 1476 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1))‘𝑦) = (𝐹‘((𝑦 + (𝐽 + 1)) mod (♯‘𝐹))))
49253ad2ant3 1129 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐽 ∈ ℤ)
5049adantr 466 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝐽 ∈ ℤ)
51 fzo0ss1 12706 . . . . . . . . . . . 12 (1..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁)
5223ad2ant3 1129 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
5352, 3sylan 569 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑦 + 1) ∈ (1..^𝑁))
5451, 53sseldi 3750 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑦 + 1) ∈ (0..^𝑁))
5542eleq2d 2836 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 = (♯‘𝐹) → ((𝑦 + 1) ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑦 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
56553ad2ant2 1128 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑦 + 1) ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑦 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
5756adantr 466 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((𝑦 + 1) ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑦 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
5854, 57mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑦 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
59 cshwidxmod 13758 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝐽 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(((𝑦 + 1) + 𝐽) mod (♯‘𝐹))))
6033, 50, 58, 59syl3anc 1476 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(((𝑦 + 1) + 𝐽) mod (♯‘𝐹))))
6132, 48, 603eqtr4rd 2816 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘(𝑦 + 1)) = ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1))‘𝑦))
62613adant3 1126 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) ∧ 𝑥 = (𝑦 + 1)) → ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘(𝑦 + 1)) = ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1))‘𝑦))
6321, 62eqtrd 2805 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) ∧ 𝑥 = (𝑦 + 1)) → ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑥) = ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1))‘𝑦))
6463eqeq1d 2773 . . . . 5 (((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) ∧ 𝑥 = (𝑦 + 1)) → (((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑥) = 𝑧 ↔ ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1))‘𝑦) = 𝑧))
657, 19, 64rexxfrd2 5013 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (∃𝑥 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑥) = 𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1))‘𝑦) = 𝑧))
6665abbidv 2890 . . 3 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑥) = 𝑧} = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1))‘𝑦) = 𝑧})
6725anim2i 603 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 ∈ Word 𝑆𝐽 ∈ ℤ))
68673adant2 1125 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 ∈ Word 𝑆𝐽 ∈ ℤ))
69 cshwfn 13756 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝐽 ∈ ℤ) → (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹)))
7068, 69syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹)))
71 fnfun 6128 . . . . . . 7 ((𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹)) → Fun (𝐹 cyclShift 𝐽))
7271adantl 467 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → Fun (𝐹 cyclShift 𝐽))
73423ad2ant2 1128 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (0..^𝑁) = (0..^(♯‘𝐹)))
7451, 73syl5sseq 3802 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (1..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
7574adantr 466 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → (1..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
76 fndm 6130 . . . . . . . 8 ((𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹)) → dom (𝐹 cyclShift 𝐽) = (0..^(♯‘𝐹)))
7776adantl 467 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → dom (𝐹 cyclShift 𝐽) = (0..^(♯‘𝐹)))
7875, 77sseqtr4d 3791 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → (1..^𝑁) ⊆ dom (𝐹 cyclShift 𝐽))
7972, 78jca 501 . . . . 5 (((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → (Fun (𝐹 cyclShift 𝐽) ∧ (1..^𝑁) ⊆ dom (𝐹 cyclShift 𝐽)))
8070, 79mpdan 667 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (Fun (𝐹 cyclShift 𝐽) ∧ (1..^𝑁) ⊆ dom (𝐹 cyclShift 𝐽)))
81 dfimafn 6387 . . . 4 ((Fun (𝐹 cyclShift 𝐽) ∧ (1..^𝑁) ⊆ dom (𝐹 cyclShift 𝐽)) → ((𝐹 cyclShift 𝐽) “ (1..^𝑁)) = {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑥) = 𝑧})
8280, 81syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐹 cyclShift 𝐽) “ (1..^𝑁)) = {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑥) = 𝑧})
8334anim2i 603 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ (𝐽 + 1) ∈ ℤ))
84833adant2 1125 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ (𝐽 + 1) ∈ ℤ))
85 cshwfn 13756 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ (𝐽 + 1) ∈ ℤ) → (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) Fn (0..^(♯‘𝐹)))
8684, 85syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) Fn (0..^(♯‘𝐹)))
87 fnfun 6128 . . . . . . 7 ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) Fn (0..^(♯‘𝐹)) → Fun (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)))
8887adantl 467 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → Fun (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)))
89383ad2ant3 1129 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
90 oveq2 6801 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐹) = 𝑁 → (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^𝑁))
9190eqcoms 2779 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = (♯‘𝐹) → (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^𝑁))
92913ad2ant2 1128 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^𝑁))
9389, 92sseqtr4d 3791 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
9493adantr 466 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
95 fndm 6130 . . . . . . . 8 ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) Fn (0..^(♯‘𝐹)) → dom (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) = (0..^(♯‘𝐹)))
9695adantl 467 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → dom (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) = (0..^(♯‘𝐹)))
9794, 96sseqtr4d 3791 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ dom (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)))
9888, 97jca 501 . . . . 5 (((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → (Fun (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) ∧ (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ dom (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1))))
9986, 98mpdan 667 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (Fun (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) ∧ (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ dom (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1))))
100 dfimafn 6387 . . . 4 ((Fun (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) ∧ (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ dom (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1))) → ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) “ (0..^(𝑁 − 1))) = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1))‘𝑦) = 𝑧})
10199, 100syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) “ (0..^(𝑁 − 1))) = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (0..^(𝑁 − 1))((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1))‘𝑦) = 𝑧})
10266, 82, 1013eqtr4d 2815 . 2 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐹 cyclShift 𝐽) “ (1..^𝑁)) = ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) “ (0..^(𝑁 − 1))))
1031, 102eqtrd 2805 1 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) = ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) “ (0..^(𝑁 − 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  {cab 2757  wrex 3062  cdif 3720  wss 3723  {csn 4316  dom cdm 5249  cima 5252  Fun wfun 6025   Fn wfn 6026  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141  cmin 10468  cz 11579  ..^cfzo 12673   mod cmo 12876  chash 13321  Word cword 13487   cyclShift ccsh 13743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-ico 12386  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-hash 13322  df-word 13495  df-concat 13497  df-substr 13499  df-csh 13744
This theorem is referenced by:  eucrct2eupth  27425
  Copyright terms: Public domain W3C validator