MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cshimadifsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cshimadifsn 13796
Description: The image of a cyclically shifted word under its domain without its left bound is the image of a cyclically shifted word under its domain without the number of shifted symbols. (Contributed by AV, 19-Mar-2021.)
Assertion
Ref Expression
cshimadifsn ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) = ((𝐹 cyclShift 𝐽) “ (1..^𝑁)))

Proof of Theorem cshimadifsn
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wrdfn 13526 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word 𝑆𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
2 fnfun 6150 . . . . . 6 (𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)) → Fun 𝐹)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝐹 ∈ Word 𝑆 → Fun 𝐹)
433ad2ant1 1128 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → Fun 𝐹)
5 wrddm 13519 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word 𝑆 → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
6 difssd 3882 . . . . . . . . 9 ((dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹)) → ((0..^(♯‘𝐹)) ∖ {𝐽}) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
7 oveq2 6823 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = (♯‘𝐹) → (0..^𝑁) = (0..^(♯‘𝐹)))
87difeq1d 3871 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = (♯‘𝐹) → ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) = ((0..^(♯‘𝐹)) ∖ {𝐽}))
98adantl 473 . . . . . . . . 9 ((dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹)) → ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) = ((0..^(♯‘𝐹)) ∖ {𝐽}))
10 simpl 474 . . . . . . . . 9 ((dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹)) → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
116, 9, 103sstr4d 3790 . . . . . . . 8 ((dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹)) → ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ⊆ dom 𝐹)
1211a1d 25 . . . . . . 7 ((dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹)) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ⊆ dom 𝐹))
1312ex 449 . . . . . 6 (dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑁 = (♯‘𝐹) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ⊆ dom 𝐹)))
145, 13syl 17 . . . . 5 (𝐹 ∈ Word 𝑆 → (𝑁 = (♯‘𝐹) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ⊆ dom 𝐹)))
15143imp 1102 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ⊆ dom 𝐹)
164, 15jca 555 . . 3 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (Fun 𝐹 ∧ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ⊆ dom 𝐹))
17 dfimafn 6409 . . 3 ((Fun 𝐹 ∧ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ⊆ dom 𝐹) → (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) = {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})(𝐹𝑥) = 𝑧})
1816, 17syl 17 . 2 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) = {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})(𝐹𝑥) = 𝑧})
19 modsumfzodifsn 12958 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))
20193ad2antl3 1203 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))
21 oveq2 6823 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝐹) = 𝑁 → ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)) = ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁))
2221eqcoms 2769 . . . . . . . . 9 (𝑁 = (♯‘𝐹) → ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)) = ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁))
2322eleq1d 2825 . . . . . . . 8 (𝑁 = (♯‘𝐹) → (((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ↔ ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})))
24233ad2ant2 1129 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ↔ ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})))
2524adantr 472 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → (((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ↔ ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})))
2620, 25mpbird 247 . . . . 5 (((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))
27 modfzo0difsn 12957 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → ∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁))
28273ad2antl3 1203 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → ∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁))
29 oveq2 6823 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = (♯‘𝐹) → ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁) = ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)))
3029eqcomd 2767 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = (♯‘𝐹) → ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)) = ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁))
3130eqeq2d 2771 . . . . . . . . 9 (𝑁 = (♯‘𝐹) → (𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)) ↔ 𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁)))
3231rexbidv 3191 . . . . . . . 8 (𝑁 = (♯‘𝐹) → (∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)) ↔ ∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁)))
33323ad2ant2 1129 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)) ↔ ∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁)))
3433adantr 472 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → (∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)) ↔ ∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁)))
3528, 34mpbird 247 . . . . 5 (((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → ∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)))
36 fveq2 6354 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹))))
37363ad2ant3 1130 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹))) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹))))
38 simpl1 1228 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐹 ∈ Word 𝑆)
39 elfzoelz 12685 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
40393ad2ant3 1130 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐽 ∈ ℤ)
4140adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐽 ∈ ℤ)
42 oveq2 6823 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 = (♯‘𝐹) → (1..^𝑁) = (1..^(♯‘𝐹)))
4342eleq2d 2826 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 = (♯‘𝐹) → (𝑦 ∈ (1..^𝑁) ↔ 𝑦 ∈ (1..^(♯‘𝐹))))
44 fzo0ss1 12713 . . . . . . . . . . . . 13 (1..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹))
4544sseli 3741 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
4643, 45syl6bi 243 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = (♯‘𝐹) → (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
47463ad2ant2 1129 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
4847imp 444 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
49 cshwidxmod 13770 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑦) = (𝐹‘((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹))))
5049eqcomd 2767 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹))) = ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑦))
5138, 41, 48, 50syl3anc 1477 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐹‘((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹))) = ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑦))
52513adant3 1127 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹))) → (𝐹‘((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹))) = ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑦))
5337, 52eqtrd 2795 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹))) → (𝐹𝑥) = ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑦))
5453eqeq1d 2763 . . . . 5 (((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹))) → ((𝐹𝑥) = 𝑧 ↔ ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑦) = 𝑧))
5526, 35, 54rexxfrd2 5035 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (∃𝑥 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})(𝐹𝑥) = 𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑦) = 𝑧))
5655abbidv 2880 . . 3 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})(𝐹𝑥) = 𝑧} = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑦) = 𝑧})
5739anim2i 594 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 ∈ Word 𝑆𝐽 ∈ ℤ))
58573adant2 1126 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 ∈ Word 𝑆𝐽 ∈ ℤ))
59 cshwfn 13768 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝐽 ∈ ℤ) → (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹)))
6058, 59syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹)))
61 fnfun 6150 . . . . . . . 8 ((𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹)) → Fun (𝐹 cyclShift 𝐽))
6261adantl 473 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → Fun (𝐹 cyclShift 𝐽))
6342, 44syl6eqss 3797 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = (♯‘𝐹) → (1..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
64633ad2ant2 1129 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (1..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
6564adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → (1..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
66 fndm 6152 . . . . . . . . 9 ((𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹)) → dom (𝐹 cyclShift 𝐽) = (0..^(♯‘𝐹)))
6766adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → dom (𝐹 cyclShift 𝐽) = (0..^(♯‘𝐹)))
6865, 67sseqtr4d 3784 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → (1..^𝑁) ⊆ dom (𝐹 cyclShift 𝐽))
6962, 68jca 555 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → (Fun (𝐹 cyclShift 𝐽) ∧ (1..^𝑁) ⊆ dom (𝐹 cyclShift 𝐽)))
7060, 69mpdan 705 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (Fun (𝐹 cyclShift 𝐽) ∧ (1..^𝑁) ⊆ dom (𝐹 cyclShift 𝐽)))
71 dfimafn 6409 . . . . 5 ((Fun (𝐹 cyclShift 𝐽) ∧ (1..^𝑁) ⊆ dom (𝐹 cyclShift 𝐽)) → ((𝐹 cyclShift 𝐽) “ (1..^𝑁)) = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑦) = 𝑧})
7270, 71syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐹 cyclShift 𝐽) “ (1..^𝑁)) = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑦) = 𝑧})
7372eqcomd 2767 . . 3 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑦) = 𝑧} = ((𝐹 cyclShift 𝐽) “ (1..^𝑁)))
7456, 73eqtrd 2795 . 2 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})(𝐹𝑥) = 𝑧} = ((𝐹 cyclShift 𝐽) “ (1..^𝑁)))
7518, 74eqtrd 2795 1 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) = ((𝐹 cyclShift 𝐽) “ (1..^𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2140  {cab 2747  wrex 3052  cdif 3713  wss 3716  {csn 4322  dom cdm 5267  cima 5270  Fun wfun 6044   Fn wfn 6045  cfv 6050  (class class class)co 6815  0cc0 10149  1c1 10150   + caddc 10152  cz 11590  ..^cfzo 12680   mod cmo 12883  chash 13332  Word cword 13498   cyclShift ccsh 13755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-sup 8516  df-inf 8517  df-card 8976  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-rp 12047  df-ico 12395  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-fl 12808  df-mod 12884  df-hash 13333  df-word 13506  df-concat 13508  df-substr 13510  df-csh 13756
This theorem is referenced by:  cshimadifsn0  13797
  Copyright terms: Public domain W3C validator