MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cshco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cshco 13703
Description: Mapping of words commutes with the "cyclical shift" operation. (Contributed by AV, 12-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
cshco ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁)) = ((𝐹𝑊) cyclShift 𝑁))

Proof of Theorem cshco
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffn 6158 . . . 4 (𝐹:𝐴𝐵𝐹 Fn 𝐴)
213ad2ant3 1127 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → 𝐹 Fn 𝐴)
3 cshwfn 13668 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
433adant3 1124 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝑊 cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
5 cshwrn 13669 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ) → ran (𝑊 cyclShift 𝑁) ⊆ 𝐴)
653adant3 1124 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → ran (𝑊 cyclShift 𝑁) ⊆ 𝐴)
7 fnco 6112 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ran (𝑊 cyclShift 𝑁) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁)) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
82, 4, 6, 7syl3anc 1439 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁)) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
9 wrdco 13698 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹𝑊) ∈ Word 𝐵)
1093adant2 1123 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹𝑊) ∈ Word 𝐵)
11 simp2 1129 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → 𝑁 ∈ ℤ)
12 cshwfn 13668 . . . 4 (((𝐹𝑊) ∈ Word 𝐵𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐹𝑊) cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘(𝐹𝑊))))
1310, 11, 12syl2anc 696 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → ((𝐹𝑊) cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘(𝐹𝑊))))
14 lenco 13699 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (♯‘(𝐹𝑊)) = (♯‘𝑊))
15143adant2 1123 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (♯‘(𝐹𝑊)) = (♯‘𝑊))
1615oveq2d 6781 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (0..^(♯‘(𝐹𝑊))) = (0..^(♯‘𝑊)))
1716fneq2d 6095 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (((𝐹𝑊) cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘(𝐹𝑊))) ↔ ((𝐹𝑊) cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘𝑊))))
1813, 17mpbid 222 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → ((𝐹𝑊) cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
1915adantr 472 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝐹𝑊)) = (♯‘𝑊))
2019oveq2d 6781 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹𝑊))) = ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
2120fveq2d 6308 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹𝑊)))) = (𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
2221fveq2d 6308 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐹‘(𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹𝑊))))) = (𝐹‘(𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
23 wrdfn 13426 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
24233ad2ant1 1125 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
2524adantr 472 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
26 elfzoelz 12585 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝑖 ∈ ℤ)
27 zaddcl 11530 . . . . . . . 8 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ)
2826, 11, 27syl2anr 496 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ)
29 elfzo0 12624 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (♯‘𝑊)))
3029simp2bi 1138 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
3130adantl 473 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
32 zmodfzo 12808 . . . . . . 7 (((𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
3328, 31, 32syl2anc 696 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
3415oveq2d 6781 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹𝑊))) = ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
3534eleq1d 2788 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹𝑊))) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
3635adantr 472 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹𝑊))) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
3733, 36mpbird 247 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹𝑊))) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
38 fvco2 6387 . . . . 5 ((𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹𝑊))) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹𝑊)‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹𝑊)))) = (𝐹‘(𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹𝑊))))))
3925, 37, 38syl2anc 696 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹𝑊)‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹𝑊)))) = (𝐹‘(𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹𝑊))))))
40 simpl1 1204 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝐴)
4111adantr 472 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℤ)
42 simpr 479 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
43 cshwidxmod 13670 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑖) = (𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
4443fveq2d 6308 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐹‘((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑖)) = (𝐹‘(𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
4540, 41, 42, 44syl3anc 1439 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐹‘((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑖)) = (𝐹‘(𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
4622, 39, 453eqtr4rd 2769 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐹‘((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑖)) = ((𝐹𝑊)‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹𝑊)))))
47 fvco2 6387 . . . 4 (((𝑊 cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁))‘𝑖) = (𝐹‘((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑖)))
484, 47sylan 489 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁))‘𝑖) = (𝐹‘((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑖)))
4910adantr 472 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐹𝑊) ∈ Word 𝐵)
5015eqcomd 2730 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (♯‘𝑊) = (♯‘(𝐹𝑊)))
5150oveq2d 6781 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^(♯‘(𝐹𝑊))))
5251eleq2d 2789 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐹𝑊)))))
5352biimpa 502 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐹𝑊))))
54 cshwidxmod 13670 . . . 4 (((𝐹𝑊) ∈ Word 𝐵𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐹𝑊)))) → (((𝐹𝑊) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝐹𝑊)‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹𝑊)))))
5549, 41, 53, 54syl3anc 1439 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((𝐹𝑊) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝐹𝑊)‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹𝑊)))))
5646, 48, 553eqtr4d 2768 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁))‘𝑖) = (((𝐹𝑊) cyclShift 𝑁)‘𝑖))
578, 18, 56eqfnfvd 6429 1 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁)) = ((𝐹𝑊) cyclShift 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1596  wcel 2103  wss 3680   class class class wbr 4760  ran crn 5219  ccom 5222   Fn wfn 5996  wf 5997  cfv 6001  (class class class)co 6765  0cc0 10049   + caddc 10052   < clt 10187  cn 11133  0cn0 11405  cz 11490  ..^cfzo 12580   mod cmo 12783  chash 13232  Word cword 13398   cyclShift ccsh 13655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-sup 8464  df-inf 8465  df-card 8878  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-rp 11947  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-fl 12708  df-mod 12784  df-hash 13233  df-word 13406  df-concat 13408  df-substr 13410  df-csh 13656
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator