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Theorem csbren 23353
Description: Cauchy-Schwarz-Bunjakovsky inequality for R^n. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
csbrn.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
csbrn.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
csbrn.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
csbren (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ≤ (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem csbren
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2cn 11254 . . . . 5 2 ∈ ℂ
2 csbrn.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
3 csbrn.2 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4 csbrn.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
53, 4remulcld 10233 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
62, 5fsumrecl 14635 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
76recnd 10231 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
8 sqmul 13091 . . . . 5 ((2 ∈ ℂ ∧ Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ) → ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) = ((2↑2) · (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)))
91, 7, 8sylancr 698 . . . 4 (𝜑 → ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) = ((2↑2) · (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)))
10 sq2 13125 . . . . 5 (2↑2) = 4
1110oveq1i 6811 . . . 4 ((2↑2) · (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)) = (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2))
129, 11syl6eq 2798 . . 3 (𝜑 → ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) = (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)))
133resqcld 13200 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
142, 13fsumrecl 14635 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) ∈ ℝ)
15 2re 11253 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
16 remulcl 10184 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ) → (2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
1715, 6, 16sylancr 698 . . . . 5 (𝜑 → (2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
184resqcld 13200 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
192, 18fsumrecl 14635 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2) ∈ ℝ)
202adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ Fin)
2113adantlr 753 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
22 simplr 809 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
2322resqcld 13200 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
2421, 23remulcld 10233 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) ∈ ℝ)
25 remulcl 10184 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
2615, 5, 25sylancr 698 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
2726adantlr 753 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
2827, 22remulcld 10233 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) ∈ ℝ)
2924, 28readdcld 10232 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) ∈ ℝ)
3018adantlr 753 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
3129, 30readdcld 10232 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
323adantlr 753 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3332, 22remulcld 10233 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵 · 𝑥) ∈ ℝ)
344adantlr 753 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
3533, 34readdcld 10232 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶) ∈ ℝ)
3635sqge0d 13201 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 0 ≤ (((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)↑2))
3733recnd 10231 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵 · 𝑥) ∈ ℂ)
3834recnd 10231 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
39 binom2 13144 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 · 𝑥) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)↑2) = ((((𝐵 · 𝑥)↑2) + (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
4037, 38, 39syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)↑2) = ((((𝐵 · 𝑥)↑2) + (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
4132recnd 10231 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
4222recnd 10231 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
4341, 42sqmuld 13185 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝐵 · 𝑥)↑2) = ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)))
4441, 42, 38mul32d 10409 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶) = ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥))
4544oveq2d 6817 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶)) = (2 · ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥)))
46 2cnd 11256 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 2 ∈ ℂ)
475adantlr 753 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
4847recnd 10231 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
4946, 48, 42mulassd 10226 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) = (2 · ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥)))
5045, 49eqtr4d 2785 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶)) = ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥))
5143, 50oveq12d 6819 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (((𝐵 · 𝑥)↑2) + (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶))) = (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)))
5251oveq1d 6816 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((((𝐵 · 𝑥)↑2) + (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶))) + (𝐶↑2)) = ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)))
5340, 52eqtrd 2782 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)↑2) = ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)))
5436, 53breqtrd 4818 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 0 ≤ ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)))
5520, 31, 54fsumge0 14697 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ Σ𝑘𝐴 ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)))
5624recnd 10231 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
5728recnd 10231 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) ∈ ℂ)
5856, 57addcld 10222 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) ∈ ℂ)
5930recnd 10231 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
6020, 58, 59fsumadd 14640 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → Σ𝑘𝐴 ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)) = (Σ𝑘𝐴 (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))
6120, 56, 57fsumadd 14640 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → Σ𝑘𝐴 (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) = (Σ𝑘𝐴 ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + Σ𝑘𝐴 ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)))
62 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
6362recnd 10231 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
6463sqcld 13171 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
6521recnd 10231 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
6620, 64, 65fsummulc1 14687 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) = Σ𝑘𝐴 ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)))
67 2cnd 11256 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 2 ∈ ℂ)
6820, 67, 48fsummulc2 14686 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) = Σ𝑘𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶)))
6968oveq1d 6816 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) = (Σ𝑘𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥))
7026recnd 10231 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
7170adantlr 753 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
7220, 63, 71fsummulc1 14687 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (Σ𝑘𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) = Σ𝑘𝐴 ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥))
7369, 72eqtrd 2782 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) = Σ𝑘𝐴 ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥))
7466, 73oveq12d 6819 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) = (Σ𝑘𝐴 ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + Σ𝑘𝐴 ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)))
7561, 74eqtr4d 2785 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → Σ𝑘𝐴 (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) = ((Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)))
7675oveq1d 6816 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (Σ𝑘𝐴 (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)) = (((Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))
7760, 76eqtrd 2782 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → Σ𝑘𝐴 ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)) = (((Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))
7855, 77breqtrd 4818 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (((Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))
7914, 17, 19, 78discr 13166 . . . 4 (𝜑 → (((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))) ≤ 0)
8017resqcld 13200 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) ∈ ℝ)
81 4re 11260 . . . . . 6 4 ∈ ℝ
8214, 19remulcld 10233 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
83 remulcl 10184 . . . . . 6 ((4 ∈ ℝ ∧ (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℝ) → (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))) ∈ ℝ)
8481, 82, 83sylancr 698 . . . . 5 (𝜑 → (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))) ∈ ℝ)
8580, 84suble0d 10781 . . . 4 (𝜑 → ((((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))) ≤ 0 ↔ ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) ≤ (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))))
8679, 85mpbid 222 . . 3 (𝜑 → ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) ≤ (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))))
8712, 86eqbrtrrd 4816 . 2 (𝜑 → (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)) ≤ (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))))
886resqcld 13200 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ∈ ℝ)
8981a1i 11 . . 3 (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
90 4pos 11279 . . . 4 0 < 4
9190a1i 11 . . 3 (𝜑 → 0 < 4)
92 lemul2 11039 . . 3 (((Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ∈ ℝ ∧ (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → ((Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ≤ (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)) ↔ (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)) ≤ (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))))
9388, 82, 89, 91, 92syl112anc 1467 . 2 (𝜑 → ((Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ≤ (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)) ↔ (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)) ≤ (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))))
9487, 93mpbird 247 1 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ≤ (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127   class class class wbr 4792  (class class class)co 6801  Fincfn 8109  cc 10097  cr 10098  0cc0 10099   + caddc 10102   · cmul 10104   < clt 10237  cle 10238  cmin 10429  2c2 11233  4c4 11235  cexp 13025  Σcsu 14586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-inf2 8699  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-fal 1626  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-se 5214  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-isom 6046  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8501  df-oi 8568  df-card 8926  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-rp 11997  df-ico 12345  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-seq 12967  df-exp 13026  df-hash 13283  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011  df-sqrt 14145  df-abs 14146  df-clim 14389  df-sum 14587
This theorem is referenced by:  trirn  23354
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