Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crngridl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem crngridl 19453
 Description: In a commutative ring, the left and right ideals coincide. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
crng2idl.i 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
crngridl.o 𝑂 = (oppr𝑅)
Assertion
Ref Expression
crngridl (𝑅 ∈ CRing → 𝐼 = (LIdeal‘𝑂))

Proof of Theorem crngridl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 crng2idl.i . 2 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
2 eqidd 2772 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
3 crngridl.o . . . . . 6 𝑂 = (oppr𝑅)
4 eqid 2771 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
53, 4opprbas 18837 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
65a1i 11 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂))
7 ssv 3774 . . . . 5 (Base‘𝑅) ⊆ V
87a1i 11 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑅) ⊆ V)
9 eqid 2771 . . . . . . 7 (+g𝑅) = (+g𝑅)
103, 9oppradd 18838 . . . . . 6 (+g𝑅) = (+g𝑂)
1110oveqi 6809 . . . . 5 (𝑥(+g𝑅)𝑦) = (𝑥(+g𝑂)𝑦)
1211a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) = (𝑥(+g𝑂)𝑦))
13 ovexd 6829 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ V)
14 eqid 2771 . . . . . 6 (.r𝑅) = (.r𝑅)
15 eqid 2771 . . . . . 6 (.r𝑂) = (.r𝑂)
164, 14, 3, 15crngoppr 18835 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) = (𝑥(.r𝑂)𝑦))
17163expb 1113 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) = (𝑥(.r𝑂)𝑦))
182, 6, 8, 12, 13, 17lidlrsppropd 19445 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → ((LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑂) ∧ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑂)))
1918simpld 482 . 2 (𝑅 ∈ CRing → (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑂))
201, 19syl5eq 2817 1 (𝑅 ∈ CRing → 𝐼 = (LIdeal‘𝑂))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  Vcvv 3351   ⊆ wss 3723  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  .rcmulr 16150  CRingccrg 18756  opprcoppr 18830  LIdealclidl 19385  RSpancrsp 19386 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-tpos 7508  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-cmn 18402  df-mgp 18698  df-cring 18758  df-oppr 18831  df-lss 19143  df-lsp 19185  df-sra 19387  df-rgmod 19388  df-lidl 19389  df-rsp 19390 This theorem is referenced by:  crng2idl  19454
 Copyright terms: Public domain W3C validator