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Theorem crctcshwlkn0lem5 26939
Description: Lemma for crctcshwlkn0 26946. (Contributed by AV, 12-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
crctcshwlkn0lem.s (𝜑𝑆 ∈ (1..^𝑁))
crctcshwlkn0lem.q 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
crctcshwlkn0lem.h 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
crctcshwlkn0lem.n 𝑁 = (♯‘𝐹)
crctcshwlkn0lem.f (𝜑𝐹 ∈ Word 𝐴)
crctcshwlkn0lem.p (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))))
Assertion
Ref Expression
crctcshwlkn0lem5 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁)if-((𝑄𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻𝑗)) = {(𝑄𝑗)}, {(𝑄𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻𝑗))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥   𝑖,𝐹   𝑖,𝐼   𝑖,𝑁   𝑃,𝑖   𝑆,𝑖   𝜑,𝑖,𝑗   𝑥,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑖,𝑗)   𝑃(𝑗)   𝑄(𝑥,𝑖,𝑗)   𝑆(𝑗)   𝐹(𝑥,𝑗)   𝐻(𝑥,𝑖,𝑗)   𝐼(𝑥,𝑗)   𝑁(𝑗)

Proof of Theorem crctcshwlkn0lem5
StepHypRef Expression
1 crctcshwlkn0lem.p . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))))
2 crctcshwlkn0lem.s . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ (1..^𝑁))
3 elfzoelz 12685 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
43zcnd 11696 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁) → 𝑗 ∈ ℂ)
54adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁)) → 𝑗 ∈ ℂ)
6 1cnd 10269 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
7 elfzoelz 12685 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
87zcnd 11696 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℂ)
98adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁)) → 𝑆 ∈ ℂ)
10 elfzoel2 12684 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
1110zcnd 11696 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
1211adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
135, 6, 9, 122addsubd 10655 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁)) → (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁) = (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1))
1413eqcomd 2767 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁)) → (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))
15 elfzo1 12733 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁))
16 nnz 11612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
17163ad2ant2 1129 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
1817adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
193adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁)) → 𝑗 ∈ ℤ)
20 nnz 11612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑆 ∈ ℕ → 𝑆 ∈ ℤ)
21203ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
2221adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁)) → 𝑆 ∈ ℤ)
2319, 22zaddcld 11699 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁)) → (𝑗 + 𝑆) ∈ ℤ)
24 elfzo2 12688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁) ↔ (𝑗 ∈ (ℤ‘((𝑁𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁))
25 eluz2 11906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ (ℤ‘((𝑁𝑆) + 1)) ↔ (((𝑁𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝑗))
26 zre 11594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℝ)
27 nnre 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑆 ∈ ℕ → 𝑆 ∈ ℝ)
28 nnre 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2927, 28anim12i 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
30 simplr 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℝ)
31 simpll 807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ ℝ)
3230, 31resubcld 10671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑁𝑆) ∈ ℝ)
3332lep1d 11168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑁𝑆) ≤ ((𝑁𝑆) + 1))
34 1red 10268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
3532, 34readdcld 10282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝑁𝑆) + 1) ∈ ℝ)
36 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑗 ∈ ℝ)
37 letr 10344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑁𝑆) ∈ ℝ ∧ ((𝑁𝑆) + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (((𝑁𝑆) ≤ ((𝑁𝑆) + 1) ∧ ((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝑗) → (𝑁𝑆) ≤ 𝑗))
3832, 35, 36, 37syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (((𝑁𝑆) ≤ ((𝑁𝑆) + 1) ∧ ((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝑗) → (𝑁𝑆) ≤ 𝑗))
3933, 38mpand 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝑗 → (𝑁𝑆) ≤ 𝑗))
4030, 31, 36lesubaddd 10837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝑁𝑆) ≤ 𝑗𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆)))
4139, 40sylibd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝑗𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆)))
4241ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑗 ∈ ℝ → (((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝑗𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆))))
4329, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑗 ∈ ℝ → (((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝑗𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆))))
44433adant3 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑗 ∈ ℝ → (((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝑗𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆))))
4526, 44syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ ℤ → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝑗𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆))))
4645com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ ℤ → (((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝑗 → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆))))
4746imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝑗) → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆)))
48473adant1 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑁𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝑗) → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆)))
4925, 48sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (ℤ‘((𝑁𝑆) + 1)) → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆)))
50493ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 ∈ (ℤ‘((𝑁𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁) → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆)))
5150com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑗 ∈ (ℤ‘((𝑁𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁) → 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆)))
5224, 51syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁) → 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆)))
5352imp 444 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁)) → 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆))
54 eluz2 11906 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗 + 𝑆) ∈ (ℤ𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑗 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆)))
5518, 23, 53, 54syl3anbrc 1429 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁)) → (𝑗 + 𝑆) ∈ (ℤ𝑁))
56 uznn0sub 11933 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 + 𝑆) ∈ (ℤ𝑁) → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) ∈ ℕ0)
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁)) → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) ∈ ℕ0)
58 simpl2 1230 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
5926adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ ℝ)
60 simpll 807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑆 ∈ ℝ)
61 ax-1 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑆 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ))
6261imdistanri 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
6362adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
64 lt2add 10726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → ((𝑗 < 𝑁𝑆 < 𝑁) → (𝑗 + 𝑆) < (𝑁 + 𝑁)))
6559, 60, 63, 64syl21anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑗 < 𝑁𝑆 < 𝑁) → (𝑗 + 𝑆) < (𝑁 + 𝑁)))
6659, 60readdcld 10282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 + 𝑆) ∈ ℝ)
67 simplr 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
6866, 67, 67ltsubaddd 10836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁 ↔ (𝑗 + 𝑆) < (𝑁 + 𝑁)))
6965, 68sylibrd 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑗 < 𝑁𝑆 < 𝑁) → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁))
7069ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑗 ∈ ℤ → ((𝑗 < 𝑁𝑆 < 𝑁) → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁)))
7170com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑗 < 𝑁𝑆 < 𝑁) → (𝑗 ∈ ℤ → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁)))
7271expcomd 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑆 < 𝑁 → (𝑗 < 𝑁 → (𝑗 ∈ ℤ → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁))))
7329, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 < 𝑁 → (𝑗 < 𝑁 → (𝑗 ∈ ℤ → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁))))
74733impia 1110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑗 < 𝑁 → (𝑗 ∈ ℤ → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁)))
7574com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 < 𝑁 → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁)))
76753ad2ant2 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝑗) → (𝑗 < 𝑁 → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁)))
7725, 76sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (ℤ‘((𝑁𝑆) + 1)) → (𝑗 < 𝑁 → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁)))
7877imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗 ∈ (ℤ‘((𝑁𝑆) + 1)) ∧ 𝑗 < 𝑁) → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁))
79783adant2 1126 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗 ∈ (ℤ‘((𝑁𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁) → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁))
8024, 79sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁) → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁))
8180impcom 445 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁)) → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁)
8257, 58, 813jca 1123 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁)) → (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁))
8315, 82sylanb 490 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁)) → (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁))
84 elfzo0 12724 . . . . . . . . . . 11 (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) ∈ (0..^𝑁) ↔ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁))
8583, 84sylibr 224 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁)) → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
8685adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
87 fveq2 6354 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) → (𝑃𝑖) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))
8887adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) → (𝑃𝑖) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))
89 oveq1 6822 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) → (𝑖 + 1) = (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1))
9089fveq2d 6358 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1)))
91 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) → (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))
9291fveq2d 6358 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) → (𝑃‘(((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)))
9390, 92sylan9eqr 2817 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)))
9488, 93eqeq12d 2776 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) → ((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))))
95 fveq2 6354 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) → (𝐹𝑖) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))
9695fveq2d 6358 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) → (𝐼‘(𝐹𝑖)) = (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))))
9787sneqd 4334 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) → {(𝑃𝑖)} = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))})
9896, 97eqeq12d 2776 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) → ((𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)} ↔ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))) = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))}))
9998adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) → ((𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)} ↔ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))) = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))}))
10088, 93preq12d 4421 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) → {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)), (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))})
101 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) → 𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))
102101fveq2d 6358 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) → (𝐹𝑖) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))
103102fveq2d 6358 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) → (𝐼‘(𝐹𝑖)) = (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))))
104100, 103sseq12d 3776 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) → ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖)) ↔ {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)), (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))))
10594, 99, 104ifpbi123d 1065 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) → (if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))) ↔ if-((𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)), (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))) = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))}, {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)), (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))))))
10686, 105rspcdv 3453 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))) → if-((𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)), (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))) = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))}, {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)), (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))))))
10714, 106mpdan 705 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))) → if-((𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)), (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))) = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))}, {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)), (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))))))
1082, 107sylan 489 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))) → if-((𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)), (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))) = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))}, {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)), (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))))))
109108ex 449 . . . . 5 (𝜑 → (𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))) → if-((𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)), (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))) = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))}, {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)), (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))))))
1101, 109mpid 44 . . . 4 (𝜑 → (𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁) → if-((𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)), (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))) = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))}, {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)), (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))))))
111110imp 444 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁)) → if-((𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)), (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))) = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))}, {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)), (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))))
112 elfzofz 12700 . . . . 5 (𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁) → 𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)...𝑁))
113 crctcshwlkn0lem.q . . . . . 6 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
1142, 113crctcshwlkn0lem3 26937 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)...𝑁)) → (𝑄𝑗) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))
115112, 114sylan2 492 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁)) → (𝑄𝑗) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))
116 fzofzp1 12780 . . . . 5 (𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁) → (𝑗 + 1) ∈ (((𝑁𝑆) + 1)...𝑁))
1172, 113crctcshwlkn0lem3 26937 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (((𝑁𝑆) + 1)...𝑁)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)))
118116, 117sylan2 492 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)))
119 crctcshwlkn0lem.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
120119fveq1i 6355 . . . . . 6 (𝐻𝑗) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑗)
121 crctcshwlkn0lem.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ Word 𝐴)
122121adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁)) → 𝐹 ∈ Word 𝐴)
1232, 7syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ ℤ)
124123adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁)) → 𝑆 ∈ ℤ)
125 ltle 10339 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑆 < 𝑁𝑆𝑁))
12629, 125syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 < 𝑁𝑆𝑁))
1271263impia 1110 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑆𝑁)
128 nnnn0 11512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑆 ∈ ℕ → 𝑆 ∈ ℕ0)
129 nnnn0 11512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
130128, 129anim12i 591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
1311303adant3 1127 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑆 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
132 nn0sub 11556 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑆𝑁 ↔ (𝑁𝑆) ∈ ℕ0))
133131, 132syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑆𝑁 ↔ (𝑁𝑆) ∈ ℕ0))
134127, 133mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑁𝑆) ∈ ℕ0)
13515, 134sylbi 207 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (𝑁𝑆) ∈ ℕ0)
136 1nn0 11521 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ0
137136a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 1 ∈ ℕ0)
138135, 137nn0addcld 11568 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑁𝑆) + 1) ∈ ℕ0)
139 elnn0uz 11939 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁𝑆) + 1) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁𝑆) + 1) ∈ (ℤ‘0))
140138, 139sylib 208 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑁𝑆) + 1) ∈ (ℤ‘0))
141 fzoss1 12710 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁𝑆) + 1) ∈ (ℤ‘0) → (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁))
1422, 140, 1413syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁))
143142sselda 3745 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁)) → 𝑗 ∈ (0..^𝑁))
144 crctcshwlkn0lem.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (♯‘𝐹)
145144oveq2i 6826 . . . . . . . . 9 (0..^𝑁) = (0..^(♯‘𝐹))
146143, 145syl6eleq 2850 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁)) → 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
147 cshwidxmod 13770 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑗) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
148122, 124, 146, 147syl3anc 1477 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁)) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑗) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
149144eqcomi 2770 . . . . . . . . . 10 (♯‘𝐹) = 𝑁
150149oveq2i 6826 . . . . . . . . 9 ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = ((𝑗 + 𝑆) mod 𝑁)
151 eluzelre 11911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (ℤ‘((𝑁𝑆) + 1)) → 𝑗 ∈ ℝ)
1521513ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 ∈ (ℤ‘((𝑁𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁) → 𝑗 ∈ ℝ)
153152adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ (ℤ‘((𝑁𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁)) → 𝑗 ∈ ℝ)
154273ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑆 ∈ ℝ)
155154adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ (ℤ‘((𝑁𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁)) → 𝑆 ∈ ℝ)
156153, 155readdcld 10282 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ (ℤ‘((𝑁𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁)) → (𝑗 + 𝑆) ∈ ℝ)
157 nnrp 12056 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
1581573ad2ant2 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
159158adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ (ℤ‘((𝑁𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
16050impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ (ℤ‘((𝑁𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁)) → 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆))
161159rpred 12086 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ (ℤ‘((𝑁𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
162 simpr3 1238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ (ℤ‘((𝑁𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁)) → 𝑗 < 𝑁)
163 simpl3 1232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ (ℤ‘((𝑁𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁)) → 𝑆 < 𝑁)
164153, 155, 161, 162, 163lt2addmuld 11495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ (ℤ‘((𝑁𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁)) → (𝑗 + 𝑆) < (2 · 𝑁))
165160, 164jca 555 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ (ℤ‘((𝑁𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁)) → (𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆) ∧ (𝑗 + 𝑆) < (2 · 𝑁)))
166156, 159, 165jca31 558 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ (ℤ‘((𝑁𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁)) → (((𝑗 + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆) ∧ (𝑗 + 𝑆) < (2 · 𝑁))))
167166ex 449 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑗 ∈ (ℤ‘((𝑁𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁) → (((𝑗 + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆) ∧ (𝑗 + 𝑆) < (2 · 𝑁)))))
16824, 167syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁) → (((𝑗 + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆) ∧ (𝑗 + 𝑆) < (2 · 𝑁)))))
16915, 168sylbi 207 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁) → (((𝑗 + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆) ∧ (𝑗 + 𝑆) < (2 · 𝑁)))))
1702, 169syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁) → (((𝑗 + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆) ∧ (𝑗 + 𝑆) < (2 · 𝑁)))))
171170imp 444 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁)) → (((𝑗 + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆) ∧ (𝑗 + 𝑆) < (2 · 𝑁))))
172 2submod 12946 . . . . . . . . . 10 ((((𝑗 + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆) ∧ (𝑗 + 𝑆) < (2 · 𝑁))) → ((𝑗 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))
173171, 172syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁)) → ((𝑗 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))
174150, 173syl5eq 2807 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁)) → ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))
175174fveq2d 6358 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁)) → (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))
176148, 175eqtrd 2795 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁)) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑗) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))
177120, 176syl5eq 2807 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁)) → (𝐻𝑗) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))
178177fveq2d 6358 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁)) → (𝐼‘(𝐻𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))))
179 simp1 1131 . . . . . 6 (((𝑄𝑗) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝐼‘(𝐻𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))) → (𝑄𝑗) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))
180 simp2 1132 . . . . . 6 (((𝑄𝑗) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝐼‘(𝐻𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)))
181179, 180eqeq12d 2776 . . . . 5 (((𝑄𝑗) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝐼‘(𝐻𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))) → ((𝑄𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)) ↔ (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))))
182 simp3 1133 . . . . . 6 (((𝑄𝑗) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝐼‘(𝐻𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))) → (𝐼‘(𝐻𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))))
183179sneqd 4334 . . . . . 6 (((𝑄𝑗) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝐼‘(𝐻𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))) → {(𝑄𝑗)} = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))})
184182, 183eqeq12d 2776 . . . . 5 (((𝑄𝑗) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝐼‘(𝐻𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))) → ((𝐼‘(𝐻𝑗)) = {(𝑄𝑗)} ↔ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))) = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))}))
185179, 180preq12d 4421 . . . . . 6 (((𝑄𝑗) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝐼‘(𝐻𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))) → {(𝑄𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)), (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))})
186185, 182sseq12d 3776 . . . . 5 (((𝑄𝑗) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝐼‘(𝐻𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))) → ({(𝑄𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻𝑗)) ↔ {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)), (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))))
187181, 184, 186ifpbi123d 1065 . . . 4 (((𝑄𝑗) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝐼‘(𝐻𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))) → (if-((𝑄𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻𝑗)) = {(𝑄𝑗)}, {(𝑄𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻𝑗))) ↔ if-((𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)), (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))) = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))}, {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)), (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))))))
188115, 118, 178, 187syl3anc 1477 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁)) → (if-((𝑄𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻𝑗)) = {(𝑄𝑗)}, {(𝑄𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻𝑗))) ↔ if-((𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)), (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))) = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))}, {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)), (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))))))
189111, 188mpbird 247 . 2 ((𝜑𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁)) → if-((𝑄𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻𝑗)) = {(𝑄𝑗)}, {(𝑄𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻𝑗))))
190189ralrimiva 3105 1 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)..^𝑁)if-((𝑄𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻𝑗)) = {(𝑄𝑗)}, {(𝑄𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻𝑗))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  if-wif 1050  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2140  wral 3051  wss 3716  ifcif 4231  {csn 4322  {cpr 4324   class class class wbr 4805  cmpt 4882  cfv 6050  (class class class)co 6815  cc 10147  cr 10148  0cc0 10149  1c1 10150   + caddc 10152   · cmul 10154   < clt 10287  cle 10288  cmin 10479  cn 11233  2c2 11283  0cn0 11505  cz 11590  cuz 11900  +crp 12046  ...cfz 12540  ..^cfzo 12680   mod cmo 12883  chash 13332  Word cword 13498   cyclShift ccsh 13755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1051  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-sup 8516  df-inf 8517  df-card 8976  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-rp 12047  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-fl 12808  df-mod 12884  df-hash 13333  df-word 13506  df-concat 13508  df-substr 13510  df-csh 13756
This theorem is referenced by:  crctcshwlkn0lem7  26941
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