Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crctcshwlkn0lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem crctcshwlkn0lem2 26938
 Description: Lemma for crctcshwlkn0 26948. (Contributed by AV, 12-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
crctcshwlkn0lem.s (𝜑𝑆 ∈ (1..^𝑁))
crctcshwlkn0lem.q 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
Assertion
Ref Expression
crctcshwlkn0lem2 ((𝜑𝐽 ∈ (0...(𝑁𝑆))) → (𝑄𝐽) = (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑄(𝑥)

Proof of Theorem crctcshwlkn0lem2
StepHypRef Expression
1 crctcshwlkn0lem.q . . . 4 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
21a1i 11 . . 3 ((𝜑𝐽 ∈ (0...(𝑁𝑆))) → 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)))))
3 breq1 4787 . . . . 5 (𝑥 = 𝐽 → (𝑥 ≤ (𝑁𝑆) ↔ 𝐽 ≤ (𝑁𝑆)))
4 fvoveq1 6815 . . . . 5 (𝑥 = 𝐽 → (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)) = (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)))
5 oveq1 6799 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐽 → (𝑥 + 𝑆) = (𝐽 + 𝑆))
65fvoveq1d 6814 . . . . 5 (𝑥 = 𝐽 → (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁)))
73, 4, 6ifbieq12d 4250 . . . 4 (𝑥 = 𝐽 → if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = if(𝐽 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))))
87adantl 467 . . 3 (((𝜑𝐽 ∈ (0...(𝑁𝑆))) ∧ 𝑥 = 𝐽) → if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = if(𝐽 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))))
9 crctcshwlkn0lem.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ (1..^𝑁))
10 fzo0ss1 12705 . . . . . 6 (1..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁)
1110sseli 3746 . . . . 5 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
12 elfzoel2 12676 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
13 elfzonn0 12720 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℕ0)
14 eluzmn 11894 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁𝑆)))
1512, 13, 14syl2anc 565 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁𝑆)))
16 fzss2 12587 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁𝑆)) → (0...(𝑁𝑆)) ⊆ (0...𝑁))
1715, 16syl 17 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → (0...(𝑁𝑆)) ⊆ (0...𝑁))
1817sseld 3749 . . . . 5 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 ∈ (0...(𝑁𝑆)) → 𝐽 ∈ (0...𝑁)))
199, 11, 183syl 18 . . . 4 (𝜑 → (𝐽 ∈ (0...(𝑁𝑆)) → 𝐽 ∈ (0...𝑁)))
2019imp 393 . . 3 ((𝜑𝐽 ∈ (0...(𝑁𝑆))) → 𝐽 ∈ (0...𝑁))
21 fvex 6342 . . . . 5 (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)) ∈ V
22 fvex 6342 . . . . 5 (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁)) ∈ V
2321, 22ifex 4293 . . . 4 if(𝐽 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))) ∈ V
2423a1i 11 . . 3 ((𝜑𝐽 ∈ (0...(𝑁𝑆))) → if(𝐽 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))) ∈ V)
252, 8, 20, 24fvmptd 6430 . 2 ((𝜑𝐽 ∈ (0...(𝑁𝑆))) → (𝑄𝐽) = if(𝐽 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))))
26 elfzle2 12551 . . . 4 (𝐽 ∈ (0...(𝑁𝑆)) → 𝐽 ≤ (𝑁𝑆))
2726adantl 467 . . 3 ((𝜑𝐽 ∈ (0...(𝑁𝑆))) → 𝐽 ≤ (𝑁𝑆))
2827iftrued 4231 . 2 ((𝜑𝐽 ∈ (0...(𝑁𝑆))) → if(𝐽 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)))
2925, 28eqtrd 2804 1 ((𝜑𝐽 ∈ (0...(𝑁𝑆))) → (𝑄𝐽) = (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  Vcvv 3349   ⊆ wss 3721  ifcif 4223   class class class wbr 4784   ↦ cmpt 4861  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  0cc0 10137  1c1 10138   + caddc 10140   ≤ cle 10276   − cmin 10467  ℕ0cn0 11493  ℤcz 11578  ℤ≥cuz 11887  ...cfz 12532  ..^cfzo 12672 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-fzo 12673 This theorem is referenced by:  crctcshwlkn0lem4  26940  crctcshwlkn0lem6  26942
 Copyright terms: Public domain W3C validator