MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crctcsh Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem crctcsh 26927
Description: Cyclically shifting the indices of a circuit 𝐹, 𝑃 results in a circuit 𝐻, 𝑄. (Contributed by AV, 10-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 31-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
crctcsh.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
crctcsh.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
crctcsh.d (𝜑𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
crctcsh.n 𝑁 = (♯‘𝐹)
crctcsh.s (𝜑𝑆 ∈ (0..^𝑁))
crctcsh.h 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
crctcsh.q 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
Assertion
Ref Expression
crctcsh (𝜑𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝐻
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem crctcsh
StepHypRef Expression
1 crctcsh.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 crctcsh.i . . . 4 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3 crctcsh.d . . . 4 (𝜑𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
4 crctcsh.n . . . 4 𝑁 = (♯‘𝐹)
5 crctcsh.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ (0..^𝑁))
6 crctcsh.h . . . 4 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
7 crctcsh.q . . . 4 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7crctcshlem4 26923 . . 3 ((𝜑𝑆 = 0) → (𝐻 = 𝐹𝑄 = 𝑃))
9 breq12 4809 . . . . 5 ((𝐻 = 𝐹𝑄 = 𝑃) → (𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃))
103, 9syl5ibrcom 237 . . . 4 (𝜑 → ((𝐻 = 𝐹𝑄 = 𝑃) → 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄))
1110adantr 472 . . 3 ((𝜑𝑆 = 0) → ((𝐻 = 𝐹𝑄 = 𝑃) → 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄))
128, 11mpd 15 . 2 ((𝜑𝑆 = 0) → 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄)
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7crctcshtrl 26926 . . . 4 (𝜑𝐻(Trails‘𝐺)𝑄)
1413adantr 472 . . 3 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝐻(Trails‘𝐺)𝑄)
157a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)))))
16 breq1 4807 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (𝑥 ≤ (𝑁𝑆) ↔ 0 ≤ (𝑁𝑆)))
17 oveq1 6820 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (𝑥 + 𝑆) = (0 + 𝑆))
1817fveq2d 6356 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
1917oveq1d 6828 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) = ((0 + 𝑆) − 𝑁))
2019fveq2d 6356 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘((0 + 𝑆) − 𝑁)))
2116, 18, 20ifbieq12d 4257 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = if(0 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(0 + 𝑆)), (𝑃‘((0 + 𝑆) − 𝑁))))
22 elfzo0le 12706 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆𝑁)
235, 22syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆𝑁)
241, 2, 3, 4crctcshlem1 26920 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2524nn0red 11544 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
26 elfzoelz 12664 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
275, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ ℤ)
2827zred 11674 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
2925, 28subge0d 10809 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 ≤ (𝑁𝑆) ↔ 𝑆𝑁))
3023, 29mpbird 247 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁𝑆))
3130adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 0 ≤ (𝑁𝑆))
3231iftrued 4238 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → if(0 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(0 + 𝑆)), (𝑃‘((0 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
3321, 32sylan9eqr 2816 . . . . 5 (((𝜑𝑆 ≠ 0) ∧ 𝑥 = 0) → if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
343adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
351, 2, 34, 4crctcshlem1 26920 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
36 0elfz 12630 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
3735, 36syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 0 ∈ (0...𝑁))
38 fvexd 6364 . . . . 5 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝑃‘(0 + 𝑆)) ∈ V)
3915, 33, 37, 38fvmptd 6450 . . . 4 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝑄‘0) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
40 breq1 4807 . . . . . . . 8 (𝑥 = (♯‘𝐻) → (𝑥 ≤ (𝑁𝑆) ↔ (♯‘𝐻) ≤ (𝑁𝑆)))
41 oveq1 6820 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (♯‘𝐻) → (𝑥 + 𝑆) = ((♯‘𝐻) + 𝑆))
4241fveq2d 6356 . . . . . . . 8 (𝑥 = (♯‘𝐻) → (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)) = (𝑃‘((♯‘𝐻) + 𝑆)))
4341oveq1d 6828 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (♯‘𝐻) → ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) = (((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁))
4443fveq2d 6356 . . . . . . . 8 (𝑥 = (♯‘𝐻) → (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)))
4540, 42, 44ifbieq12d 4257 . . . . . . 7 (𝑥 = (♯‘𝐻) → if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = if((♯‘𝐻) ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘((♯‘𝐻) + 𝑆)), (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁))))
46 elfzoel2 12663 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
47 elfzonn0 12707 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℕ0)
48 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ ℕ0)
4948anim1i 593 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑆 ∈ ℕ0𝑆 ≠ 0))
50 elnnne0 11498 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 ∈ ℕ ↔ (𝑆 ∈ ℕ0𝑆 ≠ 0))
5149, 50sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝑆 ∈ ℕ)
5251nngt0d 11256 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → 0 < 𝑆)
53 zre 11573 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
54 nn0re 11493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑆 ∈ ℕ0𝑆 ∈ ℝ)
5553, 54anim12ci 592 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
5655adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
57 ltsubpos 10712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑆 ↔ (𝑁𝑆) < 𝑁))
5857bicomd 213 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑁𝑆) < 𝑁 ↔ 0 < 𝑆))
5956, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → ((𝑁𝑆) < 𝑁 ↔ 0 < 𝑆))
6052, 59mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑁𝑆) < 𝑁)
6160ex 449 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) → (𝑆 ≠ 0 → (𝑁𝑆) < 𝑁))
6246, 47, 61syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → (𝑆 ≠ 0 → (𝑁𝑆) < 𝑁))
635, 62syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆 ≠ 0 → (𝑁𝑆) < 𝑁))
6463imp 444 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝑁𝑆) < 𝑁)
655adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
661, 2, 34, 4, 65, 6crctcshlem2 26921 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (♯‘𝐻) = 𝑁)
6766breq1d 4814 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → ((♯‘𝐻) ≤ (𝑁𝑆) ↔ 𝑁 ≤ (𝑁𝑆)))
6867notbid 307 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (¬ (♯‘𝐻) ≤ (𝑁𝑆) ↔ ¬ 𝑁 ≤ (𝑁𝑆)))
6925, 28resubcld 10650 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁𝑆) ∈ ℝ)
7069, 25jca 555 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
7170adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → ((𝑁𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
72 ltnle 10309 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑁𝑆) < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ (𝑁𝑆)))
7371, 72syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → ((𝑁𝑆) < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ (𝑁𝑆)))
7468, 73bitr4d 271 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (¬ (♯‘𝐻) ≤ (𝑁𝑆) ↔ (𝑁𝑆) < 𝑁))
7564, 74mpbird 247 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → ¬ (♯‘𝐻) ≤ (𝑁𝑆))
7675iffalsed 4241 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → if((♯‘𝐻) ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘((♯‘𝐻) + 𝑆)), (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)))
7745, 76sylan9eqr 2816 . . . . . 6 (((𝜑𝑆 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (♯‘𝐻)) → if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)))
781, 2, 3, 4, 5, 6crctcshlem2 26921 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘𝐻) = 𝑁)
7978, 24eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℕ0)
8079nn0cnd 11545 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℂ)
8127zcnd 11675 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
8224nn0cnd 11545 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
8380, 81, 82addsubd 10605 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁) = (((♯‘𝐻) − 𝑁) + 𝑆))
8478oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘𝐻) − 𝑁) = (𝑁𝑁))
8582subidd 10572 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁𝑁) = 0)
8684, 85eqtrd 2794 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((♯‘𝐻) − 𝑁) = 0)
8786oveq1d 6828 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((♯‘𝐻) − 𝑁) + 𝑆) = (0 + 𝑆))
8883, 87eqtrd 2794 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁) = (0 + 𝑆))
8988fveq2d 6356 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
9089adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
9190adantr 472 . . . . . 6 (((𝜑𝑆 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (♯‘𝐻)) → (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
9277, 91eqtrd 2794 . . . . 5 (((𝜑𝑆 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (♯‘𝐻)) → if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
9378adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (♯‘𝐻) = 𝑁)
94 nn0fz0 12631 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...𝑁))
9524, 94sylib 208 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ (0...𝑁))
9695adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
9793, 96eqeltrd 2839 . . . . 5 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (♯‘𝐻) ∈ (0...𝑁))
9815, 92, 97, 38fvmptd 6450 . . . 4 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝑄‘(♯‘𝐻)) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
9939, 98eqtr4d 2797 . . 3 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝑄‘0) = (𝑄‘(♯‘𝐻)))
100 iscrct 26896 . . 3 (𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄 ↔ (𝐻(Trails‘𝐺)𝑄 ∧ (𝑄‘0) = (𝑄‘(♯‘𝐻))))
10114, 99, 100sylanbrc 701 . 2 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄)
10212, 101pm2.61dane 3019 1 (𝜑𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  Vcvv 3340  ifcif 4230   class class class wbr 4804  cmpt 4881  cfv 6049  (class class class)co 6813  cr 10127  0cc0 10128   + caddc 10131   < clt 10266  cle 10267  cmin 10458  cn 11212  0cn0 11484  cz 11569  ...cfz 12519  ..^cfzo 12659  chash 13311   cyclShift ccsh 13734  Vtxcvtx 26073  iEdgciedg 26074  Trailsctrls 26797  Circuitsccrcts 26890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1051  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-hash 13312  df-word 13485  df-concat 13487  df-substr 13489  df-csh 13735  df-wlks 26705  df-trls 26799  df-crcts 26892
This theorem is referenced by:  eucrctshift  27395
  Copyright terms: Public domain W3C validator