MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cplem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cplem1 8928
Description: Lemma for the Collection Principle cp 8930. (Contributed by NM, 17-Oct-2003.)
Hypotheses
Ref Expression
cplem1.1 𝐶 = {𝑦𝐵 ∣ ∀𝑧𝐵 (rank‘𝑦) ⊆ (rank‘𝑧)}
cplem1.2 𝐷 = 𝑥𝐴 𝐶
Assertion
Ref Expression
cplem1 𝑥𝐴 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵𝐷) ≠ ∅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem cplem1
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scott0 8925 . . . . . 6 (𝐵 = ∅ ↔ {𝑦𝐵 ∣ ∀𝑧𝐵 (rank‘𝑦) ⊆ (rank‘𝑧)} = ∅)
2 cplem1.1 . . . . . . 7 𝐶 = {𝑦𝐵 ∣ ∀𝑧𝐵 (rank‘𝑦) ⊆ (rank‘𝑧)}
32eqeq1i 2766 . . . . . 6 (𝐶 = ∅ ↔ {𝑦𝐵 ∣ ∀𝑧𝐵 (rank‘𝑦) ⊆ (rank‘𝑧)} = ∅)
41, 3bitr4i 267 . . . . 5 (𝐵 = ∅ ↔ 𝐶 = ∅)
54necon3bii 2985 . . . 4 (𝐵 ≠ ∅ ↔ 𝐶 ≠ ∅)
6 n0 4075 . . . 4 (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤𝐶)
75, 6bitri 264 . . 3 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤𝐶)
8 ssrab2 3829 . . . . . . . . 9 {𝑦𝐵 ∣ ∀𝑧𝐵 (rank‘𝑦) ⊆ (rank‘𝑧)} ⊆ 𝐵
92, 8eqsstri 3777 . . . . . . . 8 𝐶𝐵
109sseli 3741 . . . . . . 7 (𝑤𝐶𝑤𝐵)
1110a1i 11 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → (𝑤𝐶𝑤𝐵))
12 ssiun2 4716 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴𝐶 𝑥𝐴 𝐶)
13 cplem1.2 . . . . . . . 8 𝐷 = 𝑥𝐴 𝐶
1412, 13syl6sseqr 3794 . . . . . . 7 (𝑥𝐴𝐶𝐷)
1514sseld 3744 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → (𝑤𝐶𝑤𝐷))
1611, 15jcad 556 . . . . 5 (𝑥𝐴 → (𝑤𝐶 → (𝑤𝐵𝑤𝐷)))
17 inelcm 4177 . . . . 5 ((𝑤𝐵𝑤𝐷) → (𝐵𝐷) ≠ ∅)
1816, 17syl6 35 . . . 4 (𝑥𝐴 → (𝑤𝐶 → (𝐵𝐷) ≠ ∅))
1918exlimdv 2011 . . 3 (𝑥𝐴 → (∃𝑤 𝑤𝐶 → (𝐵𝐷) ≠ ∅))
207, 19syl5bi 232 . 2 (𝑥𝐴 → (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵𝐷) ≠ ∅))
2120rgen 3061 1 𝑥𝐴 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵𝐷) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wex 1853  wcel 2140  wne 2933  wral 3051  {crab 3055  cin 3715  wss 3716  c0 4059   ciun 4673  cfv 6050  rankcrnk 8802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-iin 4676  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-om 7233  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-r1 8803  df-rank 8804
This theorem is referenced by:  cplem2  8929
  Copyright terms: Public domain W3C validator