MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphsubrglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cphsubrglem 23197
Description: Lemma for cphsubrg 23200. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsubrglem.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
cphsubrglem.1 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐴))
cphsubrglem.2 (𝜑𝐹 ∈ DivRing)
Assertion
Ref Expression
cphsubrglem (𝜑 → (𝐹 = (ℂflds 𝐾) ∧ 𝐾 = (𝐴 ∩ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)))

Proof of Theorem cphsubrglem
StepHypRef Expression
1 cphsubrglem.1 . . 3 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐴))
2 cphsubrglem.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝐹)
31fveq2d 6357 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘𝐹) = (Base‘(ℂflds 𝐴)))
4 cphsubrglem.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 ∈ DivRing)
5 drngring 18976 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Ring)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ Ring)
71, 6eqeltrrd 2840 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℂflds 𝐴) ∈ Ring)
8 eqid 2760 . . . . . . . . . . 11 (Base‘(ℂflds 𝐴)) = (Base‘(ℂflds 𝐴))
9 eqid 2760 . . . . . . . . . . 11 (0g‘(ℂflds 𝐴)) = (0g‘(ℂflds 𝐴))
108, 9ring0cl 18789 . . . . . . . . . 10 ((ℂflds 𝐴) ∈ Ring → (0g‘(ℂflds 𝐴)) ∈ (Base‘(ℂflds 𝐴)))
11 reldmress 16148 . . . . . . . . . . 11 Rel dom ↾s
12 eqid 2760 . . . . . . . . . . 11 (ℂflds 𝐴) = (ℂflds 𝐴)
1311, 12, 8elbasov 16143 . . . . . . . . . 10 ((0g‘(ℂflds 𝐴)) ∈ (Base‘(ℂflds 𝐴)) → (ℂfld ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
147, 10, 133syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℂfld ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
1514simprd 482 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ V)
16 cnfldbas 19972 . . . . . . . . 9 ℂ = (Base‘ℂfld)
1712, 16ressbas 16152 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∩ ℂ) = (Base‘(ℂflds 𝐴)))
1815, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 ∩ ℂ) = (Base‘(ℂflds 𝐴)))
193, 18eqtr4d 2797 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘𝐹) = (𝐴 ∩ ℂ))
202, 19syl5eq 2806 . . . . 5 (𝜑𝐾 = (𝐴 ∩ ℂ))
2120oveq2d 6830 . . . 4 (𝜑 → (ℂflds 𝐾) = (ℂflds (𝐴 ∩ ℂ)))
2216ressinbas 16158 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (ℂflds 𝐴) = (ℂflds (𝐴 ∩ ℂ)))
2315, 22syl 17 . . . 4 (𝜑 → (ℂflds 𝐴) = (ℂflds (𝐴 ∩ ℂ)))
2421, 23eqtr4d 2797 . . 3 (𝜑 → (ℂflds 𝐾) = (ℂflds 𝐴))
251, 24eqtr4d 2797 . 2 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐾))
2625, 6eqeltrrd 2840 . . . 4 (𝜑 → (ℂflds 𝐾) ∈ Ring)
27 cnring 19990 . . . 4 fld ∈ Ring
2826, 27jctil 561 . . 3 (𝜑 → (ℂfld ∈ Ring ∧ (ℂflds 𝐾) ∈ Ring))
2912, 16ressbasss 16154 . . . . . 6 (Base‘(ℂflds 𝐴)) ⊆ ℂ
303, 29syl6eqss 3796 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝐹) ⊆ ℂ)
312, 30syl5eqss 3790 . . . 4 (𝜑𝐾 ⊆ ℂ)
32 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (0g𝐹) = (0g𝐹)
33 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (1r𝐹) = (1r𝐹)
3432, 33drngunz 18984 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ DivRing → (1r𝐹) ≠ (0g𝐹))
354, 34syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1r𝐹) ≠ (0g𝐹))
3625fveq2d 6357 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0g𝐹) = (0g‘(ℂflds 𝐾)))
37 ringgrp 18772 . . . . . . . . . . . 12 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
3827, 37mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ℂfld ∈ Grp)
39 ringgrp 18772 . . . . . . . . . . . 12 ((ℂflds 𝐾) ∈ Ring → (ℂflds 𝐾) ∈ Grp)
4026, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℂflds 𝐾) ∈ Grp)
4116issubg 17815 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ↔ (ℂfld ∈ Grp ∧ 𝐾 ⊆ ℂ ∧ (ℂflds 𝐾) ∈ Grp))
4238, 31, 40, 41syl3anbrc 1429 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
43 eqid 2760 . . . . . . . . . . 11 (ℂflds 𝐾) = (ℂflds 𝐾)
44 cnfld0 19992 . . . . . . . . . . 11 0 = (0g‘ℂfld)
4543, 44subg0 17821 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 0 = (0g‘(ℂflds 𝐾)))
4642, 45syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 = (0g‘(ℂflds 𝐾)))
4736, 46eqtr4d 2797 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0g𝐹) = 0)
4835, 47neeqtrd 3001 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝐹) ≠ 0)
4948neneqd 2937 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ (1r𝐹) = 0)
502, 33ringidcl 18788 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ Ring → (1r𝐹) ∈ 𝐾)
516, 50syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1r𝐹) ∈ 𝐾)
5231, 51sseldd 3745 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1r𝐹) ∈ ℂ)
5352sqvald 13219 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1r𝐹)↑2) = ((1r𝐹) · (1r𝐹)))
5425fveq2d 6357 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1r𝐹) = (1r‘(ℂflds 𝐾)))
5554oveq1d 6829 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1r𝐹) · (1r𝐹)) = ((1r‘(ℂflds 𝐾)) · (1r𝐹)))
5625fveq2d 6357 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (Base‘𝐹) = (Base‘(ℂflds 𝐾)))
572, 56syl5eq 2806 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 = (Base‘(ℂflds 𝐾)))
5851, 57eleqtrd 2841 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1r𝐹) ∈ (Base‘(ℂflds 𝐾)))
59 eqid 2760 . . . . . . . . . . 11 (Base‘(ℂflds 𝐾)) = (Base‘(ℂflds 𝐾))
60 fvex 6363 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝐹) ∈ V
612, 60eqeltri 2835 . . . . . . . . . . . 12 𝐾 ∈ V
62 cnfldmul 19974 . . . . . . . . . . . . 13 · = (.r‘ℂfld)
6343, 62ressmulr 16228 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ V → · = (.r‘(ℂflds 𝐾)))
6461, 63ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 · = (.r‘(ℂflds 𝐾))
65 eqid 2760 . . . . . . . . . . 11 (1r‘(ℂflds 𝐾)) = (1r‘(ℂflds 𝐾))
6659, 64, 65ringlidm 18791 . . . . . . . . . 10 (((ℂflds 𝐾) ∈ Ring ∧ (1r𝐹) ∈ (Base‘(ℂflds 𝐾))) → ((1r‘(ℂflds 𝐾)) · (1r𝐹)) = (1r𝐹))
6726, 58, 66syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1r‘(ℂflds 𝐾)) · (1r𝐹)) = (1r𝐹))
6853, 55, 673eqtrd 2798 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1r𝐹)↑2) = (1r𝐹))
69 sq01 13200 . . . . . . . . 9 ((1r𝐹) ∈ ℂ → (((1r𝐹)↑2) = (1r𝐹) ↔ ((1r𝐹) = 0 ∨ (1r𝐹) = 1)))
7052, 69syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((1r𝐹)↑2) = (1r𝐹) ↔ ((1r𝐹) = 0 ∨ (1r𝐹) = 1)))
7168, 70mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1r𝐹) = 0 ∨ (1r𝐹) = 1))
7271ord 391 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ (1r𝐹) = 0 → (1r𝐹) = 1))
7349, 72mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → (1r𝐹) = 1)
7473, 51eqeltrrd 2840 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ 𝐾)
7531, 74jca 555 . . 3 (𝜑 → (𝐾 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ 𝐾))
76 cnfld1 19993 . . . 4 1 = (1r‘ℂfld)
7716, 76issubrg 19002 . . 3 (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ↔ ((ℂfld ∈ Ring ∧ (ℂflds 𝐾) ∈ Ring) ∧ (𝐾 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ 𝐾)))
7828, 75, 77sylanbrc 701 . 2 (𝜑𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
7925, 20, 783jca 1123 1 (𝜑 → (𝐹 = (ℂflds 𝐾) ∧ 𝐾 = (𝐴 ∩ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  Vcvv 3340  cin 3714  wss 3715  cfv 6049  (class class class)co 6814  cc 10146  0cc0 10148  1c1 10149   · cmul 10153  2c2 11282  cexp 13074  Basecbs 16079  s cress 16080  .rcmulr 16164  0gc0g 16322  Grpcgrp 17643  SubGrpcsubg 17809  1rcur 18721  Ringcrg 18767  DivRingcdr 18969  SubRingcsubrg 18998  fldccnfld 19968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-addf 10227  ax-mulf 10228
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-tpos 7522  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-fz 12540  df-seq 13016  df-exp 13075  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-0g 16324  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-grp 17646  df-subg 17812  df-cmn 18415  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-cring 18770  df-oppr 18843  df-dvdsr 18861  df-unit 18862  df-drng 18971  df-subrg 19000  df-cnfld 19969
This theorem is referenced by:  cphreccllem  23198  cphsubrg  23200  tchclm  23251  tchcph  23256
  Copyright terms: Public domain W3C validator