MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphreccllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cphreccllem 23099
Description: Lemma for cphreccl 23102. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsubrglem.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
cphsubrglem.1 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐴))
cphsubrglem.2 (𝜑𝐹 ∈ DivRing)
Assertion
Ref Expression
cphreccllem ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → (1 / 𝑋) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem cphreccllem
StepHypRef Expression
1 cphsubrglem.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Base‘𝐹)
2 cphsubrglem.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐴))
3 cphsubrglem.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ DivRing)
41, 2, 3cphsubrglem 23098 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 = (ℂflds 𝐾) ∧ 𝐾 = (𝐴 ∩ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)))
54simp3d 1136 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
653ad2ant1 1125 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
7 cnfldbas 19873 . . . . . 6 ℂ = (Base‘ℂfld)
87subrgss 18904 . . . . 5 (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ⊆ ℂ)
96, 8syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → 𝐾 ⊆ ℂ)
10 simp2 1129 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → 𝑋𝐾)
119, 10sseldd 3710 . . 3 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ∈ ℂ)
12 simp3 1130 . . 3 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ≠ 0)
13 cnfldinv 19900 . . 3 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((invr‘ℂfld)‘𝑋) = (1 / 𝑋))
1411, 12, 13syl2anc 696 . 2 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → ((invr‘ℂfld)‘𝑋) = (1 / 𝑋))
15 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 (ℂflds 𝐾) = (ℂflds 𝐾)
16 cnfld0 19893 . . . . . . . . . 10 0 = (0g‘ℂfld)
1715, 16subrg0 18910 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 0 = (0g‘(ℂflds 𝐾)))
186, 17syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → 0 = (0g‘(ℂflds 𝐾)))
194simp1d 1134 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐾))
20193ad2ant1 1125 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → 𝐹 = (ℂflds 𝐾))
2120fveq2d 6308 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → (0g𝐹) = (0g‘(ℂflds 𝐾)))
2218, 21eqtr4d 2761 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → 0 = (0g𝐹))
2312, 22neeqtrd 2965 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ≠ (0g𝐹))
24 eldifsn 4425 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝐾 ∖ {(0g𝐹)}) ↔ (𝑋𝐾𝑋 ≠ (0g𝐹)))
2510, 23, 24sylanbrc 701 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ∈ (𝐾 ∖ {(0g𝐹)}))
2633ad2ant1 1125 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → 𝐹 ∈ DivRing)
27 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (Unit‘𝐹) = (Unit‘𝐹)
28 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (0g𝐹) = (0g𝐹)
291, 27, 28isdrng 18874 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ DivRing ↔ (𝐹 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐹) = (𝐾 ∖ {(0g𝐹)})))
3029simprbi 483 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ DivRing → (Unit‘𝐹) = (𝐾 ∖ {(0g𝐹)}))
3126, 30syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → (Unit‘𝐹) = (𝐾 ∖ {(0g𝐹)}))
3220fveq2d 6308 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → (Unit‘𝐹) = (Unit‘(ℂflds 𝐾)))
3331, 32eqtr3d 2760 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → (𝐾 ∖ {(0g𝐹)}) = (Unit‘(ℂflds 𝐾)))
3425, 33eleqtrd 2805 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ∈ (Unit‘(ℂflds 𝐾)))
35 eqid 2724 . . . . . 6 (Unit‘ℂfld) = (Unit‘ℂfld)
36 eqid 2724 . . . . . 6 (Unit‘(ℂflds 𝐾)) = (Unit‘(ℂflds 𝐾))
37 eqid 2724 . . . . . 6 (invr‘ℂfld) = (invr‘ℂfld)
3815, 35, 36, 37subrgunit 18921 . . . . 5 (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → (𝑋 ∈ (Unit‘(ℂflds 𝐾)) ↔ (𝑋 ∈ (Unit‘ℂfld) ∧ 𝑋𝐾 ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝑋) ∈ 𝐾)))
396, 38syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → (𝑋 ∈ (Unit‘(ℂflds 𝐾)) ↔ (𝑋 ∈ (Unit‘ℂfld) ∧ 𝑋𝐾 ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝑋) ∈ 𝐾)))
4034, 39mpbid 222 . . 3 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → (𝑋 ∈ (Unit‘ℂfld) ∧ 𝑋𝐾 ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝑋) ∈ 𝐾))
4140simp3d 1136 . 2 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → ((invr‘ℂfld)‘𝑋) ∈ 𝐾)
4214, 41eqeltrrd 2804 1 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → (1 / 𝑋) ∈ 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1072   = wceq 1596  wcel 2103  wne 2896  cdif 3677  cin 3679  wss 3680  {csn 4285  cfv 6001  (class class class)co 6765  cc 10047  0cc0 10049  1c1 10050   / cdiv 10797  Basecbs 15980  s cress 15981  0gc0g 16223  Ringcrg 18668  Unitcui 18760  invrcinvr 18792  DivRingcdr 18870  SubRingcsubrg 18899  fldccnfld 19869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-addf 10128  ax-mulf 10129
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-tpos 7472  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-fz 12441  df-seq 12917  df-exp 12976  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-starv 16079  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-unif 16088  df-0g 16225  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-grp 17547  df-minusg 17548  df-subg 17713  df-cmn 18316  df-mgp 18611  df-ur 18623  df-ring 18670  df-cring 18671  df-oppr 18744  df-dvdsr 18762  df-unit 18763  df-invr 18793  df-dvr 18804  df-drng 18872  df-subrg 18901  df-cnfld 19870
This theorem is referenced by:  cphreccl  23102  ipcau2  23154
  Copyright terms: Public domain W3C validator