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Theorem cphipval 23261
Description: Value of the inner product expressed by a sum of terms with the norm defined by the inner product. Equation 6.45 of [Ponnusamy] p. 361. (Contributed by NM, 31-Jan-2007.) (Revised by AV, 18-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
cphipfval.x 𝑋 = (Base‘𝑊)
cphipfval.p + = (+g𝑊)
cphipfval.s · = ( ·𝑠𝑊)
cphipfval.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
cphipfval.i , = (·𝑖𝑊)
cphipval.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphipval.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
cphipval (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 , 𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) / 4))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝐾   𝑘,𝑊   + ,𝑘   · ,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑘)   , (𝑘)

Proof of Theorem cphipval
StepHypRef Expression
1 cphipfval.x . . 3 𝑋 = (Base‘𝑊)
2 cphipfval.p . . 3 + = (+g𝑊)
3 cphipfval.s . . 3 · = ( ·𝑠𝑊)
4 cphipfval.n . . 3 𝑁 = (norm‘𝑊)
5 cphipfval.i . . 3 , = (·𝑖𝑊)
6 eqid 2771 . . 3 (-g𝑊) = (-g𝑊)
7 cphipval.f . . 3 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
8 cphipval.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝐹)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8cphipval2 23259 . 2 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 , 𝐵) = (((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))) / 4))
10 ax-icn 10197 . . . . . . . . . 10 i ∈ ℂ
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → i ∈ ℂ)
12 simp1l 1239 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
13 cphngp 23192 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)
14 ngpgrp 22623 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ Grp)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ Grp)
1615adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ Grp)
17163ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝑊 ∈ Grp)
18 simp2 1131 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐴𝑋)
19 cphlmod 23193 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)
20193anim1i 1155 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐵𝑋) → (𝑊 ∈ LMod ∧ i ∈ 𝐾𝐵𝑋))
21203expa 1111 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐵𝑋) → (𝑊 ∈ LMod ∧ i ∈ 𝐾𝐵𝑋))
221, 7, 3, 8lmodvscl 19090 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ i ∈ 𝐾𝐵𝑋) → (i · 𝐵) ∈ 𝑋)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐵𝑋) → (i · 𝐵) ∈ 𝑋)
24233adant2 1125 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (i · 𝐵) ∈ 𝑋)
251, 2grpcl 17638 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (i · 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑋)
2617, 18, 24, 25syl3anc 1476 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑋)
271, 5, 4nmsq 23213 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) , (𝐴 + (i · 𝐵))))
2812, 26, 27syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) , (𝐴 + (i · 𝐵))))
291, 5reipcl 23216 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) , (𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℝ)
3012, 26, 29syl2anc 573 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) , (𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℝ)
3130recnd 10270 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) , (𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℂ)
3228, 31eqeltrd 2850 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
3311, 32mulcld 10262 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
3419adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
35343ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝑊 ∈ LMod)
36 cphclm 23208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
377, 8clmneg1 23101 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ ℂMod → -1 ∈ 𝐾)
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ ℂPreHil → -1 ∈ 𝐾)
3938adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) → -1 ∈ 𝐾)
40393ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → -1 ∈ 𝐾)
41 simp3 1132 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐵𝑋)
421, 7, 3, 8lmodvscl 19090 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ -1 ∈ 𝐾𝐵𝑋) → (-1 · 𝐵) ∈ 𝑋)
4335, 40, 41, 42syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (-1 · 𝐵) ∈ 𝑋)
441, 2grpcl 17638 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (-1 · 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) ∈ 𝑋)
4517, 18, 43, 44syl3anc 1476 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) ∈ 𝑋)
461, 5, 4nmsq 23213 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + (-1 · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2) = ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) , (𝐴 + (-1 · 𝐵))))
4712, 45, 46syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2) = ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) , (𝐴 + (-1 · 𝐵))))
481, 5reipcl 23216 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + (-1 · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) , (𝐴 + (-1 · 𝐵))) ∈ ℝ)
4912, 45, 48syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) , (𝐴 + (-1 · 𝐵))) ∈ ℝ)
5047, 49eqeltrd 2850 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
5150recnd 10270 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
52 addneg1mul 10674 . . . . . . . 8 (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ ∧ ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2) ∈ ℂ) → ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) = ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2)))
5333, 51, 52syl2anc 573 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) = ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2)))
5436adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ ℂMod)
551, 2, 6, 7, 3clmvsubval 23128 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴(-g𝑊)𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
5655eqcomd 2777 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) = (𝐴(-g𝑊)𝐵))
5754, 56syl3an1 1166 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) = (𝐴(-g𝑊)𝐵))
5857fveq2d 6336 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵)))
5958oveq1d 6808 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2))
6059oveq2d 6809 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2)) = ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)))
6153, 60eqtrd 2805 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) = ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)))
62 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (invg𝑊) = (invg𝑊)
63543ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝑊 ∈ ℂMod)
64 simp1r 1240 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → i ∈ 𝐾)
651, 7, 3, 62, 8, 63, 41, 64clmvsneg 23119 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((invg𝑊)‘(i · 𝐵)) = (-i · 𝐵))
6665eqcomd 2777 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (-i · 𝐵) = ((invg𝑊)‘(i · 𝐵)))
6766oveq2d 6809 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + (-i · 𝐵)) = (𝐴 + ((invg𝑊)‘(i · 𝐵))))
681, 2, 62, 6grpsubval 17673 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑋 ∧ (i · 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)) = (𝐴 + ((invg𝑊)‘(i · 𝐵))))
6918, 24, 68syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)) = (𝐴 + ((invg𝑊)‘(i · 𝐵))))
7067, 69eqtr4d 2808 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + (-i · 𝐵)) = (𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))
7170fveq2d 6336 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵))))
7271oveq1d 6808 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))
7372oveq2d 6809 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2)) = (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))
7461, 73oveq12d 6811 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))))
7554anim1i 602 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐵𝑋) → (𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑋))
76753adant2 1125 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑋))
771, 3clmvs1 23112 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑋) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
7978oveq2d 6809 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + (1 · 𝐵)) = (𝐴 + 𝐵))
8079fveq2d 6336 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐴 + 𝐵)))
8180oveq1d 6808 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2))
8281oveq2d 6809 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2)) = (1 · ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)))
831, 2grpcl 17638 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
8416, 83syl3an1 1166 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
851, 5, 4nmsq 23213 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)))
8612, 84, 85syl2anc 573 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)))
871, 5reipcl 23216 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋) → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
8812, 84, 87syl2anc 573 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
8986, 88eqeltrd 2850 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) ∈ ℝ)
9089recnd 10270 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) ∈ ℂ)
9190mulid2d 10260 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (1 · ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)) = ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2))
9282, 91eqtrd 2805 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2)) = ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2))
9374, 92oveq12d 6811 . . . 4 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))) + (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2))) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)))
94 nnuz 11925 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
95 df-4 11283 . . . . . 6 4 = (3 + 1)
96 oveq2 6801 . . . . . . . 8 (𝑘 = 4 → (i↑𝑘) = (i↑4))
97 i4 13174 . . . . . . . 8 (i↑4) = 1
9896, 97syl6eq 2821 . . . . . . 7 (𝑘 = 4 → (i↑𝑘) = 1)
9998oveq1d 6808 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 4 → ((i↑𝑘) · 𝐵) = (1 · 𝐵))
10099oveq2d 6809 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 4 → (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) = (𝐴 + (1 · 𝐵)))
101100fveq2d 6336 . . . . . . . 8 (𝑘 = 4 → (𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵))))
102101oveq1d 6808 . . . . . . 7 (𝑘 = 4 → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2))
10398, 102oveq12d 6811 . . . . . 6 (𝑘 = 4 → ((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2)))
10410a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → i ∈ ℂ)
105 nnnn0 11501 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
106104, 105expcld 13215 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
107106adantl 467 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
10812adantr 466 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
10917adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ Grp)
11018adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴𝑋)
11135adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ LMod)
11236anim1i 602 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) → (𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾))
1131123ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾))
1147, 8cmodscexp 23140 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (i↑𝑘) ∈ 𝐾)
115113, 114sylan 569 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (i↑𝑘) ∈ 𝐾)
11641adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵𝑋)
1171, 7, 3, 8lmodvscl 19090 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (i↑𝑘) ∈ 𝐾𝐵𝑋) → ((i↑𝑘) · 𝐵) ∈ 𝑋)
118111, 115, 116, 117syl3anc 1476 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((i↑𝑘) · 𝐵) ∈ 𝑋)
1191, 2grpcl 17638 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ ((i↑𝑘) · 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) ∈ 𝑋)
120109, 110, 118, 119syl3anc 1476 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) ∈ 𝑋)
1211, 5, 4nmsq 23213 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) = ((𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) , (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))))
122108, 120, 121syl2anc 573 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) = ((𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) , (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))))
1231, 5reipcl 23216 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) , (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) ∈ ℝ)
124108, 120, 123syl2anc 573 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) , (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) ∈ ℝ)
125124recnd 10270 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) , (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) ∈ ℂ)
126122, 125eqeltrd 2850 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
127107, 126mulcld 10262 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
128 df-3 11282 . . . . . . 7 3 = (2 + 1)
129 oveq2 6801 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 3 → (i↑𝑘) = (i↑3))
130 i3 13173 . . . . . . . . 9 (i↑3) = -i
131129, 130syl6eq 2821 . . . . . . . 8 (𝑘 = 3 → (i↑𝑘) = -i)
132131oveq1d 6808 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 3 → ((i↑𝑘) · 𝐵) = (-i · 𝐵))
133132oveq2d 6809 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 3 → (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) = (𝐴 + (-i · 𝐵)))
134133fveq2d 6336 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 3 → (𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵))))
135134oveq1d 6808 . . . . . . . 8 (𝑘 = 3 → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))
136131, 135oveq12d 6811 . . . . . . 7 (𝑘 = 3 → ((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2)))
13710a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → i ∈ ℂ)
138105adantl 467 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
139137, 138expcld 13215 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
140123recnd 10270 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) , (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) ∈ ℂ)
141108, 120, 140syl2anc 573 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) , (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) ∈ ℂ)
142122, 141eqeltrd 2850 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
143139, 142mulcld 10262 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
144 df-2 11281 . . . . . . . 8 2 = (1 + 1)
145 oveq2 6801 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 2 → (i↑𝑘) = (i↑2))
146 i2 13172 . . . . . . . . . 10 (i↑2) = -1
147145, 146syl6eq 2821 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 2 → (i↑𝑘) = -1)
148147oveq1d 6808 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 2 → ((i↑𝑘) · 𝐵) = (-1 · 𝐵))
149148oveq2d 6809 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 2 → (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
150149fveq2d 6336 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 2 → (𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))))
151150oveq1d 6808 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 2 → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))
152147, 151oveq12d 6811 . . . . . . . 8 (𝑘 = 2 → ((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2)))
153139, 126mulcld 10262 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
154 1z 11609 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℤ
155 oveq2 6801 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 1 → (i↑𝑘) = (i↑1))
156 exp1 13073 . . . . . . . . . . . . . 14 (i ∈ ℂ → (i↑1) = i)
15710, 156ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (i↑1) = i
158155, 157syl6eq 2821 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 1 → (i↑𝑘) = i)
159158oveq1d 6808 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 1 → ((i↑𝑘) · 𝐵) = (i · 𝐵))
160159oveq2d 6809 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 1 → (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)))
161160fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 1 → (𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))))
162161oveq1d 6808 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 1 → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2))
163158, 162oveq12d 6811 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 1 → ((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)))
164163fsum1 14684 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℤ ∧ (i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...1)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)))
165154, 33, 164sylancr 575 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → Σ𝑘 ∈ (1...1)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)))
166 1nn 11233 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
167165, 166jctil 509 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (1 ∈ ℕ ∧ Σ𝑘 ∈ (1...1)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2))))
168 eqidd 2772 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) = ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))))
16994, 144, 152, 153, 167, 168fsump1i 14708 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (2 ∈ ℕ ∧ Σ𝑘 ∈ (1...2)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2)))))
170 eqidd 2772 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))))
17194, 128, 136, 143, 169, 170fsump1i 14708 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (3 ∈ ℕ ∧ Σ𝑘 ∈ (1...3)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2)))))
172 eqidd 2772 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))) + (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2))) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))) + (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2))))
17394, 95, 103, 127, 171, 172fsump1i 14708 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (4 ∈ ℕ ∧ Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))) + (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2)))))
174173simprd 483 . . . 4 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))) + (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2))))
1751, 6grpsubcl 17703 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴(-g𝑊)𝐵) ∈ 𝑋)
17616, 175syl3an1 1166 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴(-g𝑊)𝐵) ∈ 𝑋)
1771, 5, 4nmsq 23213 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴(-g𝑊)𝐵) ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2) = ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , (𝐴(-g𝑊)𝐵)))
17812, 176, 177syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2) = ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , (𝐴(-g𝑊)𝐵)))
1791, 5reipcl 23216 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴(-g𝑊)𝐵) ∈ 𝑋) → ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , (𝐴(-g𝑊)𝐵)) ∈ ℝ)
18012, 176, 179syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , (𝐴(-g𝑊)𝐵)) ∈ ℝ)
181178, 180eqeltrd 2850 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2) ∈ ℝ)
182181recnd 10270 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2) ∈ ℂ)
18390, 182subcld 10594 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) ∈ ℂ)
1841, 6grpsubcl 17703 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (i · 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)) ∈ 𝑋)
18517, 18, 24, 184syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)) ∈ 𝑋)
1861, 5, 4nmsq 23213 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2) = ((𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)) , (𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵))))
18712, 185, 186syl2anc 573 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2) = ((𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)) , (𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵))))
1881, 5reipcl 23216 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)) , (𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵))) ∈ ℝ)
18912, 185, 188syl2anc 573 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)) , (𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵))) ∈ ℝ)
190187, 189eqeltrd 2850 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
191190recnd 10270 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
19232, 191subcld 10594 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
19311, 192mulcld 10262 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) ∈ ℂ)
194183, 193addcomd 10440 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))) = ((i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + (((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2))))
195193, 182, 90subadd23d 10616 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)) = ((i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + (((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2))))
19632, 191, 11subdir2d 10690 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) = ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))))
197196oveq1d 6808 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)))
19811, 191mulcld 10262 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
19933, 198, 182sub32d 10626 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))))
200197, 199eqtrd 2805 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))))
201200oveq1d 6808 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)))
202194, 195, 2013eqtr2d 2811 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)))
20333, 182subcld 10594 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) ∈ ℂ)
204203, 198negsubd 10600 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + -(i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))))
20511, 191mulneg1d 10685 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2)) = -(i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))
206205eqcomd 2777 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → -(i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2)) = (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))
207206oveq2d 6809 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + -(i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))))
208204, 207eqtr3d 2807 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))))
209208oveq1d 6808 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)))
210202, 209eqtrd 2805 . . . 4 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)))
21193, 174, 2103eqtr4rd 2816 . . 3 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))) = Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)))
212211oveq1d 6808 . 2 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))) / 4) = (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) / 4))
2139, 212eqtrd 2805 1 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 , 𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) / 4))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136  cr 10137  1c1 10139  ici 10140   + caddc 10141   · cmul 10143  cmin 10468  -cneg 10469   / cdiv 10886  cn 11222  2c2 11272  3c3 11273  4c4 11274  0cn0 11494  cz 11579  ...cfz 12533  cexp 13067  Σcsu 14624  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  Scalarcsca 16152   ·𝑠 cvsca 16153  ·𝑖cip 16154  Grpcgrp 17630  invgcminusg 17631  -gcsg 17632  LModclmod 19073  normcnm 22601  NrmGrpcngp 22602  ℂModcclm 23081  ℂPreHilccph 23185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-tpos 7504  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-sum 14625  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-0g 16310  df-topgen 16312  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mulg 17749  df-subg 17799  df-ghm 17866  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-cring 18758  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-rnghom 18925  df-drng 18959  df-subrg 18988  df-staf 19055  df-srng 19056  df-lmod 19075  df-lmhm 19235  df-lvec 19316  df-sra 19387  df-rgmod 19388  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-cnfld 19962  df-phl 20188  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-xms 22345  df-ms 22346  df-nm 22607  df-ngp 22608  df-nlm 22611  df-clm 23082  df-cph 23187
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