Theorem cphipcj 23217

Description: Conjugate of an inner product in a subcomplex pre-Hilbert space. Complex version of ipcj 20195. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphipcj.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
cphipcj.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cphipcj	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (∗‘(𝐴 , 𝐵)) = (𝐵 , 𝐴))

Proof of Theorem cphipcj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphclm 23207	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
2		eqid 2770	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3	2	clmcj 23094	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → ∗ = (*𝑟‘(Scalar‘𝑊)))
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → ∗ = (*𝑟‘(Scalar‘𝑊)))
5	4	3ad2ant1 1126	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ∗ = (*𝑟‘(Scalar‘𝑊)))
6	5	fveq1d 6334	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (∗‘(𝐴 , 𝐵)) = ((*𝑟‘(Scalar‘𝑊))‘(𝐴 , 𝐵)))
7		cphphl 23189	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
8		cphipcj.h	. . . 4 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
9		cphipcj.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
10		eqid 2770	. . . 4 ⊢ (*𝑟‘(Scalar‘𝑊)) = (*𝑟‘(Scalar‘𝑊))
11	2, 8, 9, 10	ipcj 20195	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘(Scalar‘𝑊))‘(𝐴 , 𝐵)) = (𝐵 , 𝐴))
12	7, 11	syl3an1 1165	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘(Scalar‘𝑊))‘(𝐴 , 𝐵)) = (𝐵 , 𝐴))
13	6, 12	eqtrd 2804	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (∗‘(𝐴 , 𝐵)) = (𝐵 , 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1070   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  ∗ccj 14043  Basecbs 16063  *_𝑟cstv 16150  Scalarcsca 16151  ·_𝑖cip 16153  PreHilcphl 20185  ℂModcclm 23080  ℂPreHilccph 23184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-addf 10216  ax-mulf 10217

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-tpos 7503  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-fz 12533  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14046  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-starv 16163  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-unif 16172  df-0g 16309  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-grp 17632  df-subg 17798  df-cmn 18401  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-ring 18756  df-cring 18757  df-oppr 18830  df-dvdsr 18848  df-unit 18849  df-drng 18958  df-subrg 18987  df-lvec 19315  df-cnfld 19961  df-phl 20187  df-nlm 22610  df-clm 23081  df-cph 23186

This theorem is referenced by:  cphipipcj  23218  pjthlem1  23426