MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphdivcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cphdivcl 23174
Description: The scalar field of a subcomplex pre-Hilbert space is closed under reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsca.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphsca.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
cphdivcl ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem cphdivcl
StepHypRef Expression
1 cphsca.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2 cphsca.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝐹)
31, 2cphsubrg 23172 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
43adantr 472 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
5 cnfldbas 19944 . . . . . 6 ℂ = (Base‘ℂfld)
65subrgss 18975 . . . . 5 (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ⊆ ℂ)
74, 6syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → 𝐾 ⊆ ℂ)
8 simpr1 1231 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → 𝐴𝐾)
97, 8sseldd 3737 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
10 simpr2 1233 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → 𝐵𝐾)
117, 10sseldd 3737 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
12 simpr3 1235 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ≠ 0)
139, 11, 12divrecd 10988 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
141, 2cphreccl 23173 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐵𝐾𝐵 ≠ 0) → (1 / 𝐵) ∈ 𝐾)
15143adant3r1 1195 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → (1 / 𝐵) ∈ 𝐾)
16 cnfldmul 19946 . . . 4 · = (.r‘ℂfld)
1716subrgmcl 18986 . . 3 ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐴𝐾 ∧ (1 / 𝐵) ∈ 𝐾) → (𝐴 · (1 / 𝐵)) ∈ 𝐾)
184, 8, 15, 17syl3anc 1473 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 · (1 / 𝐵)) ∈ 𝐾)
1913, 18eqeltrd 2831 1 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1624  wcel 2131  wne 2924  wss 3707  cfv 6041  (class class class)co 6805  cc 10118  0cc0 10120  1c1 10121   · cmul 10125   / cdiv 10868  Basecbs 16051  Scalarcsca 16138  SubRingcsubrg 18970  fldccnfld 19940  ℂPreHilccph 23158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-addf 10199  ax-mulf 10200
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-tpos 7513  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-z 11562  df-dec 11678  df-uz 11872  df-fz 12512  df-seq 12988  df-exp 13047  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-ress 16059  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-starv 16150  df-tset 16154  df-ple 16155  df-ds 16158  df-unif 16159  df-0g 16296  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-grp 17618  df-minusg 17619  df-subg 17784  df-cmn 18387  df-mgp 18682  df-ur 18694  df-ring 18741  df-cring 18742  df-oppr 18815  df-dvdsr 18833  df-unit 18834  df-invr 18864  df-dvr 18875  df-drng 18943  df-subrg 18972  df-lvec 19297  df-cnfld 19941  df-phl 20165  df-cph 23160
This theorem is referenced by:  cphsqrtcl2  23178  pjthlem1  23400
  Copyright terms: Public domain W3C validator