Theorem cphassr 23183

Description: "Associative" law for second argument of inner product (compare cphass 23182). See ipassr 20164, his52 . (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphipcj.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
cphipcj.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
cphass.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphass.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
cphass.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cphassr	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐵 , (𝐴 · 𝐶)) = ((∗‘𝐴) · (𝐵 , 𝐶)))

Proof of Theorem cphassr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphclm 23160	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
2	1	adantr 472	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ ℂMod)
3		cphass.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4	3	clmmul 23046	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → · = (.r‘𝐹))
5	2, 4	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → · = (.r‘𝐹))
6		eqidd 2749	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐵 , 𝐶) = (𝐵 , 𝐶))
7	3	clmcj 23047	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → ∗ = (*𝑟‘𝐹))
8	2, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ∗ = (*𝑟‘𝐹))
9	8	fveq1d 6342	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (∗‘𝐴) = ((*𝑟‘𝐹)‘𝐴))
10	5, 6, 9	oveq123d 6822	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐵 , 𝐶) · (∗‘𝐴)) = ((𝐵 , 𝐶)(.r‘𝐹)((*𝑟‘𝐹)‘𝐴)))
11		cphass.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
12	3, 11	clmsscn 23050	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ⊆ ℂ)
13	2, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐾 ⊆ ℂ)
14		simpr1 1210	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ∈ 𝐾)
15	13, 14	sseldd 3733	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ∈ ℂ)
16	15	cjcld 14106	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
17		cphipcj.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
18		cphipcj.h	. . . . 5 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
19	17, 18	cphipcl 23162	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐵 , 𝐶) ∈ ℂ)
20	19	3adant3r1 1174	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐵 , 𝐶) ∈ ℂ)
21	16, 20	mulcomd 10224	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((∗‘𝐴) · (𝐵 , 𝐶)) = ((𝐵 , 𝐶) · (∗‘𝐴)))
22		cphphl 23142	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
23		3anrot 1087	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ↔ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾))
24	23	biimpi 206	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾))
25		cphass.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
26		eqid 2748	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
27		eqid 2748	. . . 4 ⊢ (*𝑟‘𝐹) = (*𝑟‘𝐹)
28	3, 18, 17, 11, 25, 26, 27	ipassr 20164	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾)) → (𝐵 , (𝐴 · 𝐶)) = ((𝐵 , 𝐶)(.r‘𝐹)((*𝑟‘𝐹)‘𝐴)))
29	22, 24, 28	syl2an 495	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐵 , (𝐴 · 𝐶)) = ((𝐵 , 𝐶)(.r‘𝐹)((*𝑟‘𝐹)‘𝐴)))
30	10, 21, 29	3eqtr4rd 2793	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐵 , (𝐴 · 𝐶)) = ((∗‘𝐴) · (𝐵 , 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1620   ∈ wcel 2127   ⊆ wss 3703  ‘cfv 6037  (class class class)co 6801  ℂcc 10097   · cmul 10104  ∗ccj 14006  Basecbs 16030  ._rcmulr 16115  *_𝑟cstv 16116  Scalarcsca 16117   ·_𝑠 cvsca 16118  ·_𝑖cip 16119  PreHilcphl 20142  ℂModcclm 23033  ℂPreHilccph 23137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-addf 10178  ax-mulf 10179

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-tpos 7509  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-map 8013  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-5 11245  df-6 11246  df-7 11247  df-8 11248  df-9 11249  df-n0 11456  df-z 11541  df-dec 11657  df-uz 11851  df-fz 12491  df-seq 12967  df-exp 13026  df-cj 14009  df-struct 16032  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-ress 16038  df-plusg 16127  df-mulr 16128  df-starv 16129  df-sca 16130  df-vsca 16131  df-ip 16132  df-tset 16133  df-ple 16134  df-ds 16137  df-unif 16138  df-0g 16275  df-mgm 17414  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-mhm 17507  df-grp 17597  df-subg 17763  df-ghm 17830  df-cmn 18366  df-mgp 18661  df-ur 18673  df-ring 18720  df-cring 18721  df-oppr 18794  df-dvdsr 18812  df-unit 18813  df-rnghom 18888  df-drng 18922  df-subrg 18951  df-staf 19018  df-srng 19019  df-lmod 19038  df-lmhm 19195  df-lvec 19276  df-sra 19345  df-rgmod 19346  df-cnfld 19920  df-phl 20144  df-nlm 22563  df-clm 23034  df-cph 23139

This theorem is referenced by:  cph2ass  23184  cphassir  23186  pjthlem1  23379