Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphabscl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cphabscl 23183
 Description: The scalar field of a subcomplex pre-Hilbert space is closed under the absolute value operation. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsca.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphsca.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
cphabscl ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾) → (abs‘𝐴) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem cphabscl
StepHypRef Expression
1 cphsca.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2 cphsca.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝐹)
31, 2cphsubrg 23178 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
4 cnfldbas 19950 . . . . . 6 ℂ = (Base‘ℂfld)
54subrgss 18981 . . . . 5 (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ⊆ ℂ)
63, 5syl 17 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐾 ⊆ ℂ)
76sselda 3742 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾) → 𝐴 ∈ ℂ)
8 absval 14175 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
97, 8syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾) → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
10 simpl 474 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
113adantr 472 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾) → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
12 simpr 479 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾) → 𝐴𝐾)
131, 2cphcjcl 23181 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾) → (∗‘𝐴) ∈ 𝐾)
14 cnfldmul 19952 . . . . 5 · = (.r‘ℂfld)
1514subrgmcl 18992 . . . 4 ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐴𝐾 ∧ (∗‘𝐴) ∈ 𝐾) → (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ 𝐾)
1611, 12, 13, 15syl3anc 1477 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾) → (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ 𝐾)
177cjmulrcld 14143 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾) → (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ)
187cjmulge0d 14145 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾) → 0 ≤ (𝐴 · (∗‘𝐴)))
191, 2cphsqrtcl 23182 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ ((𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ 𝐾 ∧ (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · (∗‘𝐴)))) → (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) ∈ 𝐾)
2010, 16, 17, 18, 19syl13anc 1479 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾) → (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) ∈ 𝐾)
219, 20eqeltrd 2837 1 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾) → (abs‘𝐴) ∈ 𝐾)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1630   ∈ wcel 2137   ⊆ wss 3713   class class class wbr 4802  ‘cfv 6047  (class class class)co 6811  ℂcc 10124  ℝcr 10125  0cc0 10126   · cmul 10131   ≤ cle 10265  ∗ccj 14033  √csqrt 14170  abscabs 14171  Basecbs 16057  Scalarcsca 16144  SubRingcsubrg 18976  ℂfldccnfld 19946  ℂPreHilccph 23164 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203  ax-pre-sup 10204  ax-addf 10205  ax-mulf 10206 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-tpos 7519  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-1o 7727  df-oadd 7731  df-er 7909  df-map 8023  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-sup 8511  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-div 10875  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-4 11271  df-5 11272  df-6 11273  df-7 11274  df-8 11275  df-9 11276  df-n0 11483  df-z 11568  df-dec 11684  df-uz 11878  df-rp 12024  df-ico 12372  df-fz 12518  df-seq 12994  df-exp 13053  df-cj 14036  df-re 14037  df-im 14038  df-sqrt 14172  df-abs 14173  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16154  df-mulr 16155  df-starv 16156  df-tset 16160  df-ple 16161  df-ds 16164  df-unif 16165  df-0g 16302  df-mgm 17441  df-sgrp 17483  df-mnd 17494  df-mhm 17534  df-grp 17624  df-subg 17790  df-ghm 17857  df-cmn 18393  df-mgp 18688  df-ur 18700  df-ring 18747  df-cring 18748  df-oppr 18821  df-dvdsr 18839  df-unit 18840  df-rnghom 18915  df-drng 18949  df-subrg 18978  df-staf 19045  df-srng 19046  df-lvec 19303  df-cnfld 19947  df-phl 20171  df-cph 23166 This theorem is referenced by:  cphsqrtcl2  23184
 Copyright terms: Public domain W3C validator