Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cp 8917
 Description: Collection Principle. This remarkable theorem scheme is in effect a very strong generalization of the Axiom of Replacement. The proof makes use of Scott's trick scottex 8911 that collapses a proper class into a set of minimum rank. The wff 𝜑 can be thought of as 𝜑(𝑥, 𝑦). Scheme "Collection Principle" of [Jech] p. 72. (Contributed by NM, 17-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
cp 𝑤𝑥𝑧 (∃𝑦𝜑 → ∃𝑦𝑤 𝜑)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑧,𝑤   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cp
StepHypRef Expression
1 vex 3352 . . 3 𝑧 ∈ V
21cplem2 8916 . 2 𝑤𝑥𝑧 ({𝑦𝜑} ≠ ∅ → ({𝑦𝜑} ∩ 𝑤) ≠ ∅)
3 abn0 4099 . . . . 5 ({𝑦𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦𝜑)
4 elin 3945 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ({𝑦𝜑} ∩ 𝑤) ↔ (𝑦 ∈ {𝑦𝜑} ∧ 𝑦𝑤))
5 abid 2758 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ {𝑦𝜑} ↔ 𝜑)
65anbi1i 602 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ {𝑦𝜑} ∧ 𝑦𝑤) ↔ (𝜑𝑦𝑤))
7 ancom 452 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑤) ↔ (𝑦𝑤𝜑))
84, 6, 73bitri 286 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ({𝑦𝜑} ∩ 𝑤) ↔ (𝑦𝑤𝜑))
98exbii 1923 . . . . . 6 (∃𝑦 𝑦 ∈ ({𝑦𝜑} ∩ 𝑤) ↔ ∃𝑦(𝑦𝑤𝜑))
10 nfab1 2914 . . . . . . . 8 𝑦{𝑦𝜑}
11 nfcv 2912 . . . . . . . 8 𝑦𝑤
1210, 11nfin 3967 . . . . . . 7 𝑦({𝑦𝜑} ∩ 𝑤)
1312n0f 4073 . . . . . 6 (({𝑦𝜑} ∩ 𝑤) ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ ({𝑦𝜑} ∩ 𝑤))
14 df-rex 3066 . . . . . 6 (∃𝑦𝑤 𝜑 ↔ ∃𝑦(𝑦𝑤𝜑))
159, 13, 143bitr4i 292 . . . . 5 (({𝑦𝜑} ∩ 𝑤) ≠ ∅ ↔ ∃𝑦𝑤 𝜑)
163, 15imbi12i 339 . . . 4 (({𝑦𝜑} ≠ ∅ → ({𝑦𝜑} ∩ 𝑤) ≠ ∅) ↔ (∃𝑦𝜑 → ∃𝑦𝑤 𝜑))
1716ralbii 3128 . . 3 (∀𝑥𝑧 ({𝑦𝜑} ≠ ∅ → ({𝑦𝜑} ∩ 𝑤) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥𝑧 (∃𝑦𝜑 → ∃𝑦𝑤 𝜑))
1817exbii 1923 . 2 (∃𝑤𝑥𝑧 ({𝑦𝜑} ≠ ∅ → ({𝑦𝜑} ∩ 𝑤) ≠ ∅) ↔ ∃𝑤𝑥𝑧 (∃𝑦𝜑 → ∃𝑦𝑤 𝜑))
192, 18mpbi 220 1 𝑤𝑥𝑧 (∃𝑦𝜑 → ∃𝑦𝑤 𝜑)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382  ∃wex 1851   ∈ wcel 2144  {cab 2756   ≠ wne 2942  ∀wral 3060  ∃wrex 3061   ∩ cin 3720  ∅c0 4061 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-reg 8652  ax-inf2 8701 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-iin 4655  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-om 7212  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-r1 8790  df-rank 8791 This theorem is referenced by:  bnd  8918
 Copyright terms: Public domain W3C validator