HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  counop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem counop 29114
Description: The composition of two unitary operators is unitary. (Contributed by NM, 22-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
counop ((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) → (𝑆𝑇) ∈ UniOp)

Proof of Theorem counop
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unopf1o 29109 . . . 4 (𝑆 ∈ UniOp → 𝑆: ℋ–1-1-onto→ ℋ)
2 unopf1o 29109 . . . 4 (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ)
3 f1oco 6300 . . . 4 ((𝑆: ℋ–1-1-onto→ ℋ ∧ 𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ) → (𝑆𝑇): ℋ–1-1-onto→ ℋ)
41, 2, 3syl2an 575 . . 3 ((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) → (𝑆𝑇): ℋ–1-1-onto→ ℋ)
5 f1ofo 6285 . . 3 ((𝑆𝑇): ℋ–1-1-onto→ ℋ → (𝑆𝑇): ℋ–onto→ ℋ)
64, 5syl 17 . 2 ((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) → (𝑆𝑇): ℋ–onto→ ℋ)
7 f1of 6278 . . . . . . . 8 (𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
82, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
98adantl 467 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
10 simpl 468 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
11 fvco3 6417 . . . . . 6 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆𝑇)‘𝑥) = (𝑆‘(𝑇𝑥)))
129, 10, 11syl2an 575 . . . . 5 (((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑆𝑇)‘𝑥) = (𝑆‘(𝑇𝑥)))
13 simpr 471 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → 𝑦 ∈ ℋ)
14 fvco3 6417 . . . . . 6 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑆𝑇)‘𝑦) = (𝑆‘(𝑇𝑦)))
159, 13, 14syl2an 575 . . . . 5 (((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑆𝑇)‘𝑦) = (𝑆‘(𝑇𝑦)))
1612, 15oveq12d 6810 . . . 4 (((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝑆𝑇)‘𝑥) ·ih ((𝑆𝑇)‘𝑦)) = ((𝑆‘(𝑇𝑥)) ·ih (𝑆‘(𝑇𝑦))))
17 ffvelrn 6500 . . . . . . . 8 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
18 ffvelrn 6500 . . . . . . . 8 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇𝑦) ∈ ℋ)
1917, 18anim12dan 597 . . . . . . 7 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ))
208, 19sylan 561 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ))
21 unop 29108 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ UniOp ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ) → ((𝑆‘(𝑇𝑥)) ·ih (𝑆‘(𝑇𝑦))) = ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)))
22213expb 1112 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ UniOp ∧ ((𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ)) → ((𝑆‘(𝑇𝑥)) ·ih (𝑆‘(𝑇𝑦))) = ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)))
2320, 22sylan2 572 . . . . 5 ((𝑆 ∈ UniOp ∧ (𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))) → ((𝑆‘(𝑇𝑥)) ·ih (𝑆‘(𝑇𝑦))) = ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)))
2423anassrs 458 . . . 4 (((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑆‘(𝑇𝑥)) ·ih (𝑆‘(𝑇𝑦))) = ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)))
25 unop 29108 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
26253expb 1112 . . . . 5 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
2726adantll 685 . . . 4 (((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
2816, 24, 273eqtrd 2808 . . 3 (((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝑆𝑇)‘𝑥) ·ih ((𝑆𝑇)‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
2928ralrimivva 3119 . 2 ((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) → ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((𝑆𝑇)‘𝑥) ·ih ((𝑆𝑇)‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
30 elunop 29065 . 2 ((𝑆𝑇) ∈ UniOp ↔ ((𝑆𝑇): ℋ–onto→ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((𝑆𝑇)‘𝑥) ·ih ((𝑆𝑇)‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦)))
316, 29, 30sylanbrc 564 1 ((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) → (𝑆𝑇) ∈ UniOp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  wral 3060  ccom 5253  wf 6027  ontowfo 6029  1-1-ontowf1o 6030  cfv 6031  (class class class)co 6792  chil 28110   ·ih csp 28113  UniOpcuo 28140
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-hilex 28190  ax-hfvadd 28191  ax-hvcom 28192  ax-hvass 28193  ax-hv0cl 28194  ax-hvaddid 28195  ax-hfvmul 28196  ax-hvmulid 28197  ax-hvdistr2 28200  ax-hvmul0 28201  ax-hfi 28270  ax-his1 28273  ax-his2 28274  ax-his3 28275  ax-his4 28276
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-2 11280  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-hvsub 28162  df-unop 29036
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator