MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cosq14gt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cosq14gt0 24382
Description: The cosine of a number strictly between -π / 2 and π / 2 is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
cosq14gt0 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝐴))

Proof of Theorem cosq14gt0
StepHypRef Expression
1 halfpire 24336 . . . . 5 (π / 2) ∈ ℝ
2 elioore 12319 . . . . 5 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
3 resubcl 10458 . . . . 5 (((π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((π / 2) − 𝐴) ∈ ℝ)
41, 2, 3sylancr 698 . . . 4 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → ((π / 2) − 𝐴) ∈ ℝ)
5 neghalfpirx 24338 . . . . . . 7 -(π / 2) ∈ ℝ*
61rexri 10210 . . . . . . 7 (π / 2) ∈ ℝ*
7 elioo2 12330 . . . . . . 7 ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < 𝐴𝐴 < (π / 2))))
85, 6, 7mp2an 710 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < 𝐴𝐴 < (π / 2)))
98simp3bi 1139 . . . . 5 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 𝐴 < (π / 2))
10 posdif 10634 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 < (π / 2) ↔ 0 < ((π / 2) − 𝐴)))
112, 1, 10sylancl 697 . . . . 5 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → (𝐴 < (π / 2) ↔ 0 < ((π / 2) − 𝐴)))
129, 11mpbid 222 . . . 4 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 0 < ((π / 2) − 𝐴))
13 picn 24331 . . . . . . . 8 π ∈ ℂ
14 halfcl 11370 . . . . . . . 8 (π ∈ ℂ → (π / 2) ∈ ℂ)
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . 7 (π / 2) ∈ ℂ
1615negcli 10462 . . . . . . 7 -(π / 2) ∈ ℂ
1713, 15negsubi 10472 . . . . . . . 8 (π + -(π / 2)) = (π − (π / 2))
18 pidiv2halves 24339 . . . . . . . . 9 ((π / 2) + (π / 2)) = π
1913, 15, 15, 18subaddrii 10483 . . . . . . . 8 (π − (π / 2)) = (π / 2)
2017, 19eqtri 2746 . . . . . . 7 (π + -(π / 2)) = (π / 2)
2115, 13, 16, 20subaddrii 10483 . . . . . 6 ((π / 2) − π) = -(π / 2)
228simp2bi 1138 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → -(π / 2) < 𝐴)
2321, 22syl5eqbr 4795 . . . . 5 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → ((π / 2) − π) < 𝐴)
24 pire 24330 . . . . . . 7 π ∈ ℝ
25 ltsub23 10621 . . . . . . 7 (((π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (((π / 2) − 𝐴) < π ↔ ((π / 2) − π) < 𝐴))
261, 24, 25mp3an13 1528 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (((π / 2) − 𝐴) < π ↔ ((π / 2) − π) < 𝐴))
272, 26syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → (((π / 2) − 𝐴) < π ↔ ((π / 2) − π) < 𝐴))
2823, 27mpbird 247 . . . 4 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → ((π / 2) − 𝐴) < π)
29 0xr 10199 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
3024rexri 10210 . . . . 5 π ∈ ℝ*
31 elioo2 12330 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (((π / 2) − 𝐴) ∈ (0(,)π) ↔ (((π / 2) − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < ((π / 2) − 𝐴) ∧ ((π / 2) − 𝐴) < π)))
3229, 30, 31mp2an 710 . . . 4 (((π / 2) − 𝐴) ∈ (0(,)π) ↔ (((π / 2) − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < ((π / 2) − 𝐴) ∧ ((π / 2) − 𝐴) < π))
334, 12, 28, 32syl3anbrc 1383 . . 3 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → ((π / 2) − 𝐴) ∈ (0(,)π))
34 sinq12gt0 24379 . . 3 (((π / 2) − 𝐴) ∈ (0(,)π) → 0 < (sin‘((π / 2) − 𝐴)))
3533, 34syl 17 . 2 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 0 < (sin‘((π / 2) − 𝐴)))
362recnd 10181 . . 3 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 𝐴 ∈ ℂ)
37 sinhalfpim 24365 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) − 𝐴)) = (cos‘𝐴))
3836, 37syl 17 . 2 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → (sin‘((π / 2) − 𝐴)) = (cos‘𝐴))
3935, 38breqtrd 4786 1 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1072   = wceq 1596  wcel 2103   class class class wbr 4760  cfv 6001  (class class class)co 6765  cc 10047  cr 10048  0cc0 10049   + caddc 10052  *cxr 10186   < clt 10187  cmin 10379  -cneg 10380   / cdiv 10797  2c2 11183  (,)cioo 12289  sincsin 14914  cosccos 14915  πcpi 14917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127  ax-addf 10128  ax-mulf 10129
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-iin 4631  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-of 7014  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-supp 7416  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-2o 7681  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-pm 7977  df-ixp 8026  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-fsupp 8392  df-fi 8433  df-sup 8464  df-inf 8465  df-oi 8531  df-card 8878  df-cda 9103  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-q 11903  df-rp 11947  df-xneg 12060  df-xadd 12061  df-xmul 12062  df-ioo 12293  df-ioc 12294  df-ico 12295  df-icc 12296  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-fl 12708  df-seq 12917  df-exp 12976  df-fac 13176  df-bc 13205  df-hash 13233  df-shft 13927  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-limsup 14322  df-clim 14339  df-rlim 14340  df-sum 14537  df-ef 14918  df-sin 14920  df-cos 14921  df-pi 14923  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-starv 16079  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-ip 16082  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-unif 16088  df-hom 16089  df-cco 16090  df-rest 16206  df-topn 16207  df-0g 16225  df-gsum 16226  df-topgen 16227  df-pt 16228  df-prds 16231  df-xrs 16285  df-qtop 16290  df-imas 16291  df-xps 16293  df-mre 16369  df-mrc 16370  df-acs 16372  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-submnd 17458  df-mulg 17663  df-cntz 17871  df-cmn 18316  df-psmet 19861  df-xmet 19862  df-met 19863  df-bl 19864  df-mopn 19865  df-fbas 19866  df-fg 19867  df-cnfld 19870  df-top 20822  df-topon 20839  df-topsp 20860  df-bases 20873  df-cld 20946  df-ntr 20947  df-cls 20948  df-nei 21025  df-lp 21063  df-perf 21064  df-cn 21154  df-cnp 21155  df-haus 21242  df-tx 21488  df-hmeo 21681  df-fil 21772  df-fm 21864  df-flim 21865  df-flf 21866  df-xms 22247  df-ms 22248  df-tms 22249  df-cncf 22803  df-limc 23750  df-dv 23751
This theorem is referenced by:  tanord1  24403  logcnlem4  24511  asinsinlem  24738
  Copyright terms: Public domain W3C validator