MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cosne0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cosne0 24497
Description: The cosine function has no zeroes within the vertical strip of the complex plane between real part -π / 2 and π / 2. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
cosne0 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘𝐴) ≠ 0)

Proof of Theorem cosne0
StepHypRef Expression
1 halfpire 24437 . . . . . 6 (π / 2) ∈ ℝ
21recni 10265 . . . . 5 (π / 2) ∈ ℂ
3 simpl 474 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 𝐴 ∈ ℂ)
4 nncan 10523 . . . . 5 (((π / 2) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((π / 2) − ((π / 2) − 𝐴)) = 𝐴)
52, 3, 4sylancr 698 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((π / 2) − ((π / 2) − 𝐴)) = 𝐴)
65fveq2d 6358 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘((π / 2) − ((π / 2) − 𝐴))) = (cos‘𝐴))
7 subcl 10493 . . . . 5 (((π / 2) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((π / 2) − 𝐴) ∈ ℂ)
82, 3, 7sylancr 698 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((π / 2) − 𝐴) ∈ ℂ)
9 coshalfpim 24468 . . . 4 (((π / 2) − 𝐴) ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) − ((π / 2) − 𝐴))) = (sin‘((π / 2) − 𝐴)))
108, 9syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘((π / 2) − ((π / 2) − 𝐴))) = (sin‘((π / 2) − 𝐴)))
116, 10eqtr3d 2797 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘𝐴) = (sin‘((π / 2) − 𝐴)))
125adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (((π / 2) − 𝐴) / π) ∈ ℤ) → ((π / 2) − ((π / 2) − 𝐴)) = 𝐴)
13 picn 24432 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ ℂ
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → π ∈ ℂ)
15 pire 24431 . . . . . . . . . . . . . 14 π ∈ ℝ
16 pipos 24433 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < π
1715, 16gt0ne0ii 10777 . . . . . . . . . . . . 13 π ≠ 0
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → π ≠ 0)
198, 14, 18divcan1d 11015 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((((π / 2) − 𝐴) / π) · π) = ((π / 2) − 𝐴))
2019adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (((π / 2) − 𝐴) / π) ∈ ℤ) → ((((π / 2) − 𝐴) / π) · π) = ((π / 2) − 𝐴))
21 zre 11594 . . . . . . . . . . . 12 ((((π / 2) − 𝐴) / π) ∈ ℤ → (((π / 2) − 𝐴) / π) ∈ ℝ)
2221adantl 473 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (((π / 2) − 𝐴) / π) ∈ ℤ) → (((π / 2) − 𝐴) / π) ∈ ℝ)
23 remulcl 10234 . . . . . . . . . . 11 (((((π / 2) − 𝐴) / π) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((((π / 2) − 𝐴) / π) · π) ∈ ℝ)
2422, 15, 23sylancl 697 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (((π / 2) − 𝐴) / π) ∈ ℤ) → ((((π / 2) − 𝐴) / π) · π) ∈ ℝ)
2520, 24eqeltrrd 2841 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (((π / 2) − 𝐴) / π) ∈ ℤ) → ((π / 2) − 𝐴) ∈ ℝ)
26 resubcl 10558 . . . . . . . . 9 (((π / 2) ∈ ℝ ∧ ((π / 2) − 𝐴) ∈ ℝ) → ((π / 2) − ((π / 2) − 𝐴)) ∈ ℝ)
271, 25, 26sylancr 698 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (((π / 2) − 𝐴) / π) ∈ ℤ) → ((π / 2) − ((π / 2) − 𝐴)) ∈ ℝ)
2812, 27eqeltrrd 2841 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (((π / 2) − 𝐴) / π) ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
2928rered 14184 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (((π / 2) − 𝐴) / π) ∈ ℤ) → (ℜ‘𝐴) = 𝐴)
30 simplr 809 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (((π / 2) − 𝐴) / π) ∈ ℤ) → (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
3129, 30eqeltrrd 2841 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (((π / 2) − 𝐴) / π) ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
32 0zd 11602 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 0 ∈ ℤ)
33 elioore 12419 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
34 resubcl 10558 . . . . . . . 8 (((π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((π / 2) − 𝐴) ∈ ℝ)
351, 33, 34sylancr 698 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → ((π / 2) − 𝐴) ∈ ℝ)
3615a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → π ∈ ℝ)
37 eliooord 12447 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → (-(π / 2) < 𝐴𝐴 < (π / 2)))
3837simprd 482 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 𝐴 < (π / 2))
39 posdif 10734 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 < (π / 2) ↔ 0 < ((π / 2) − 𝐴)))
4033, 1, 39sylancl 697 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → (𝐴 < (π / 2) ↔ 0 < ((π / 2) − 𝐴)))
4138, 40mpbid 222 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 0 < ((π / 2) − 𝐴))
4216a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 0 < π)
4335, 36, 41, 42divgt0d 11172 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 0 < (((π / 2) − 𝐴) / π))
441a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → (π / 2) ∈ ℝ)
452negcli 10562 . . . . . . . . . . . 12 -(π / 2) ∈ ℂ
4613, 2negsubi 10572 . . . . . . . . . . . . 13 (π + -(π / 2)) = (π − (π / 2))
47 pidiv2halves 24440 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π / 2) + (π / 2)) = π
4813, 2, 2, 47subaddrii 10583 . . . . . . . . . . . . 13 (π − (π / 2)) = (π / 2)
4946, 48eqtri 2783 . . . . . . . . . . . 12 (π + -(π / 2)) = (π / 2)
502, 13, 45, 49subaddrii 10583 . . . . . . . . . . 11 ((π / 2) − π) = -(π / 2)
5137simpld 477 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → -(π / 2) < 𝐴)
5250, 51syl5eqbr 4840 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → ((π / 2) − π) < 𝐴)
5344, 36, 33, 52ltsub23d 10845 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → ((π / 2) − 𝐴) < π)
5413mulid1i 10255 . . . . . . . . 9 (π · 1) = π
5553, 54syl6breqr 4847 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → ((π / 2) − 𝐴) < (π · 1))
56 1red 10268 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 1 ∈ ℝ)
57 ltdivmul 11111 . . . . . . . . 9 ((((π / 2) − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)) → ((((π / 2) − 𝐴) / π) < 1 ↔ ((π / 2) − 𝐴) < (π · 1)))
5835, 56, 36, 42, 57syl112anc 1481 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → ((((π / 2) − 𝐴) / π) < 1 ↔ ((π / 2) − 𝐴) < (π · 1)))
5955, 58mpbird 247 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → (((π / 2) − 𝐴) / π) < 1)
60 1e0p1 11765 . . . . . . 7 1 = (0 + 1)
6159, 60syl6breq 4846 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → (((π / 2) − 𝐴) / π) < (0 + 1))
62 btwnnz 11666 . . . . . 6 ((0 ∈ ℤ ∧ 0 < (((π / 2) − 𝐴) / π) ∧ (((π / 2) − 𝐴) / π) < (0 + 1)) → ¬ (((π / 2) − 𝐴) / π) ∈ ℤ)
6332, 43, 61, 62syl3anc 1477 . . . . 5 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → ¬ (((π / 2) − 𝐴) / π) ∈ ℤ)
6431, 63syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (((π / 2) − 𝐴) / π) ∈ ℤ) → ¬ (((π / 2) − 𝐴) / π) ∈ ℤ)
6564pm2.01da 457 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ¬ (((π / 2) − 𝐴) / π) ∈ ℤ)
66 sineq0 24494 . . . . 5 (((π / 2) − 𝐴) ∈ ℂ → ((sin‘((π / 2) − 𝐴)) = 0 ↔ (((π / 2) − 𝐴) / π) ∈ ℤ))
678, 66syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((sin‘((π / 2) − 𝐴)) = 0 ↔ (((π / 2) − 𝐴) / π) ∈ ℤ))
6867necon3abid 2969 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((sin‘((π / 2) − 𝐴)) ≠ 0 ↔ ¬ (((π / 2) − 𝐴) / π) ∈ ℤ))
6965, 68mpbird 247 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (sin‘((π / 2) − 𝐴)) ≠ 0)
7011, 69eqnetrd 3000 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘𝐴) ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140  wne 2933   class class class wbr 4805  cfv 6050  (class class class)co 6815  cc 10147  cr 10148  0cc0 10149  1c1 10150   + caddc 10152   · cmul 10154   < clt 10287  cmin 10479  -cneg 10480   / cdiv 10897  2c2 11283  cz 11590  (,)cioo 12389  cre 14057  sincsin 15014  cosccos 15015  πcpi 15017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-inf2 8714  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227  ax-addf 10228  ax-mulf 10229
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-iin 4676  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-se 5227  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-isom 6059  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-of 7064  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-supp 7466  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-2o 7732  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-pm 8029  df-ixp 8078  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-fsupp 8444  df-fi 8485  df-sup 8516  df-inf 8517  df-oi 8583  df-card 8976  df-cda 9203  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-9 11299  df-n0 11506  df-z 11591  df-dec 11707  df-uz 11901  df-q 12003  df-rp 12047  df-xneg 12160  df-xadd 12161  df-xmul 12162  df-ioo 12393  df-ioc 12394  df-ico 12395  df-icc 12396  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-fl 12808  df-mod 12884  df-seq 13017  df-exp 13076  df-fac 13276  df-bc 13305  df-hash 13333  df-shft 14027  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sqrt 14195  df-abs 14196  df-limsup 14422  df-clim 14439  df-rlim 14440  df-sum 14637  df-ef 15018  df-sin 15020  df-cos 15021  df-pi 15023  df-struct 16082  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-ress 16088  df-plusg 16177  df-mulr 16178  df-starv 16179  df-sca 16180  df-vsca 16181  df-ip 16182  df-tset 16183  df-ple 16184  df-ds 16187  df-unif 16188  df-hom 16189  df-cco 16190  df-rest 16306  df-topn 16307  df-0g 16325  df-gsum 16326  df-topgen 16327  df-pt 16328  df-prds 16331  df-xrs 16385  df-qtop 16390  df-imas 16391  df-xps 16393  df-mre 16469  df-mrc 16470  df-acs 16472  df-mgm 17464  df-sgrp 17506  df-mnd 17517  df-submnd 17558  df-mulg 17763  df-cntz 17971  df-cmn 18416  df-psmet 19961  df-xmet 19962  df-met 19963  df-bl 19964  df-mopn 19965  df-fbas 19966  df-fg 19967  df-cnfld 19970  df-top 20922  df-topon 20939  df-topsp 20960  df-bases 20973  df-cld 21046  df-ntr 21047  df-cls 21048  df-nei 21125  df-lp 21163  df-perf 21164  df-cn 21254  df-cnp 21255  df-haus 21342  df-tx 21588  df-hmeo 21781  df-fil 21872  df-fm 21964  df-flim 21965  df-flf 21966  df-xms 22347  df-ms 22348  df-tms 22349  df-cncf 22903  df-limc 23850  df-dv 23851
This theorem is referenced by:  tanord  24505  tanregt0  24506  atantan  24871  tan2h  33733  fourierdlem62  40907
  Copyright terms: Public domain W3C validator