MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coshval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coshval 15055
Description: Value of the hyperbolic cosine of a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
coshval (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(i · 𝐴)) = (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2))

Proof of Theorem coshval
StepHypRef Expression
1 ax-icn 10158 . . . 4 i ∈ ℂ
2 mulcl 10183 . . . 4 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
31, 2mpan 708 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4 cosval 15023 . . 3 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (cos‘(i · 𝐴)) = (((exp‘(i · (i · 𝐴))) + (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) / 2))
53, 4syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(i · 𝐴)) = (((exp‘(i · (i · 𝐴))) + (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) / 2))
6 ixi 10819 . . . . . . . 8 (i · i) = -1
76oveq1i 6811 . . . . . . 7 ((i · i) · 𝐴) = (-1 · 𝐴)
8 mulass 10187 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i · i) · 𝐴) = (i · (i · 𝐴)))
91, 1, 8mp3an12 1551 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · 𝐴) = (i · (i · 𝐴)))
10 mulm1 10634 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
117, 9, 103eqtr3a 2806 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (i · 𝐴)) = -𝐴)
1211fveq2d 6344 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (i · 𝐴))) = (exp‘-𝐴))
131, 1mulneg1i 10639 . . . . . . . . 9 (-i · i) = -(i · i)
146negeqi 10437 . . . . . . . . 9 -(i · i) = --1
15 negneg1e1 11291 . . . . . . . . 9 --1 = 1
1613, 14, 153eqtri 2774 . . . . . . . 8 (-i · i) = 1
1716oveq1i 6811 . . . . . . 7 ((-i · i) · 𝐴) = (1 · 𝐴)
18 negicn 10445 . . . . . . . 8 -i ∈ ℂ
19 mulass 10187 . . . . . . . 8 ((-i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((-i · i) · 𝐴) = (-i · (i · 𝐴)))
2018, 1, 19mp3an12 1551 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((-i · i) · 𝐴) = (-i · (i · 𝐴)))
21 mulid2 10201 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
2217, 20, 213eqtr3a 2806 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · (i · 𝐴)) = 𝐴)
2322fveq2d 6344 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · (i · 𝐴))) = (exp‘𝐴))
2412, 23oveq12d 6819 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (i · 𝐴))) + (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) = ((exp‘-𝐴) + (exp‘𝐴)))
25 negcl 10444 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
26 efcl 14983 . . . . . 6 (-𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-𝐴) ∈ ℂ)
2725, 26syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-𝐴) ∈ ℂ)
28 efcl 14983 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
2927, 28addcomd 10401 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘-𝐴) + (exp‘𝐴)) = ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)))
3024, 29eqtrd 2782 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (i · 𝐴))) + (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) = ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)))
3130oveq1d 6816 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · (i · 𝐴))) + (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) / 2) = (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2))
325, 31eqtrd 2782 1 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(i · 𝐴)) = (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1620  wcel 2127  cfv 6037  (class class class)co 6801  cc 10097  1c1 10100  ici 10101   + caddc 10102   · cmul 10104  -cneg 10430   / cdiv 10847  2c2 11233  expce 14962  cosccos 14965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-inf2 8699  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177  ax-addf 10178  ax-mulf 10179
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-fal 1626  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-se 5214  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-isom 6046  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-pm 8014  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8501  df-inf 8502  df-oi 8568  df-card 8926  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-rp 11997  df-ico 12345  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-fl 12758  df-seq 12967  df-exp 13026  df-fac 13226  df-hash 13283  df-shft 13977  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011  df-sqrt 14145  df-abs 14146  df-limsup 14372  df-clim 14389  df-rlim 14390  df-sum 14587  df-ef 14968  df-cos 14971
This theorem is referenced by:  rpcoshcl  15057  tanhlt1  15060  sinhpcosh  42963
  Copyright terms: Public domain W3C validator