Theorem cosbnd 15031

Description: The cosine of a real number lies between -1 and 1. Equation 18 of [Gleason] p. 311. (Contributed by NM, 16-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
cosbnd	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) ≤ 1))

Proof of Theorem cosbnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resincl 14990	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
2	1	sqge0d 13151	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ ((sin‘𝐴)↑2))
3		recoscl 14991	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
4	3	resqcld 13150	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
5	1	resqcld 13150	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
6	4, 5	addge02d 10729	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ ((sin‘𝐴)↑2) ↔ ((cos‘𝐴)↑2) ≤ (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2))))
7	2, 6	mpbid 222	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴)↑2) ≤ (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)))
8		recn 10139	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
9		sincossq 15026	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
11		sq1 13073	. . . . 5 ⊢ (1↑2) = 1
12	10, 11	syl6eqr 2776	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = (1↑2))
13	7, 12	breqtrd 4786	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴)↑2) ≤ (1↑2))
14		1re 10152	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
15		0le1 10664	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 1
16		lenegsq 14180	. . . . . 6 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) → (((cos‘𝐴) ≤ 1 ∧ -(cos‘𝐴) ≤ 1) ↔ ((cos‘𝐴)↑2) ≤ (1↑2)))
17	14, 15, 16	mp3an23 1529	. . . . 5 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ ℝ → (((cos‘𝐴) ≤ 1 ∧ -(cos‘𝐴) ≤ 1) ↔ ((cos‘𝐴)↑2) ≤ (1↑2)))
18		lenegcon1 10645	. . . . . . 7 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (-(cos‘𝐴) ≤ 1 ↔ -1 ≤ (cos‘𝐴)))
19	14, 18	mpan2 709	. . . . . 6 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ ℝ → (-(cos‘𝐴) ≤ 1 ↔ -1 ≤ (cos‘𝐴)))
20	19	anbi2d 742	. . . . 5 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ ℝ → (((cos‘𝐴) ≤ 1 ∧ -(cos‘𝐴) ≤ 1) ↔ ((cos‘𝐴) ≤ 1 ∧ -1 ≤ (cos‘𝐴))))
21	17, 20	bitr3d 270	. . . 4 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ ℝ → (((cos‘𝐴)↑2) ≤ (1↑2) ↔ ((cos‘𝐴) ≤ 1 ∧ -1 ≤ (cos‘𝐴))))
22	3, 21	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((cos‘𝐴)↑2) ≤ (1↑2) ↔ ((cos‘𝐴) ≤ 1 ∧ -1 ≤ (cos‘𝐴))))
23	13, 22	mpbid 222	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴) ≤ 1 ∧ -1 ≤ (cos‘𝐴)))
24	23	ancomd 466	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) ≤ 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1596   ∈ wcel 2103   class class class wbr 4760  ‘cfv 6001  (class class class)co 6765  ℂcc 10047  ℝcr 10048  0cc0 10049  1c1 10050   + caddc 10052   ≤ cle 10188  -cneg 10380  2c2 11183  ↑cexp 12975  sincsin 14914  cosccos 14915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127  ax-addf 10128  ax-mulf 10129

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-pm 7977  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-sup 8464  df-inf 8465  df-oi 8531  df-card 8878  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-rp 11947  df-ico 12295  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-fl 12708  df-seq 12917  df-exp 12976  df-fac 13176  df-bc 13205  df-hash 13233  df-shft 13927  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-limsup 14322  df-clim 14339  df-rlim 14340  df-sum 14537  df-ef 14918  df-sin 14920  df-cos 14921

This theorem is referenced by:  cosbnd2  15033  sin2h  33631  cos2h  33632  tan2h  33633  abscosbd  39906