MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cosasin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cosasin 24852
Description: The cosine of the arcsine of 𝐴 is √(1 − 𝐴↑2). (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
cosasin (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(arcsin‘𝐴)) = (√‘(1 − (𝐴↑2))))

Proof of Theorem cosasin
StepHypRef Expression
1 asincl 24821 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘𝐴) ∈ ℂ)
2 cosval 15073 . . 3 ((arcsin‘𝐴) ∈ ℂ → (cos‘(arcsin‘𝐴)) = (((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) + (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) / 2))
31, 2syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(arcsin‘𝐴)) = (((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) + (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) / 2))
4 ax-1cn 10207 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
5 sqcl 13140 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
6 subcl 10493 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
74, 5, 6sylancr 698 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
87sqrtcld 14396 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
9 ax-icn 10208 . . . . . 6 i ∈ ℂ
10 mulcl 10233 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
119, 10mpan 708 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
128, 11, 8ppncand 10645 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘(1 − (𝐴↑2))) + (i · 𝐴)) + ((√‘(1 − (𝐴↑2))) − (i · 𝐴))) = ((√‘(1 − (𝐴↑2))) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
13 efiasin 24836 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
1411, 8addcomd 10451 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) = ((√‘(1 − (𝐴↑2))) + (i · 𝐴)))
1513, 14eqtrd 2795 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) = ((√‘(1 − (𝐴↑2))) + (i · 𝐴)))
16 mulneg12 10681 . . . . . . . . . 10 ((i ∈ ℂ ∧ (arcsin‘𝐴) ∈ ℂ) → (-i · (arcsin‘𝐴)) = (i · -(arcsin‘𝐴)))
179, 1, 16sylancr 698 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · (arcsin‘𝐴)) = (i · -(arcsin‘𝐴)))
18 asinneg 24834 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘-𝐴) = -(arcsin‘𝐴))
1918oveq2d 6831 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (arcsin‘-𝐴)) = (i · -(arcsin‘𝐴)))
2017, 19eqtr4d 2798 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · (arcsin‘𝐴)) = (i · (arcsin‘-𝐴)))
2120fveq2d 6358 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴))) = (exp‘(i · (arcsin‘-𝐴))))
22 negcl 10494 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
23 efiasin 24836 . . . . . . . 8 (-𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘-𝐴))) = ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))
2422, 23syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘-𝐴))) = ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))
25 mulneg2 10680 . . . . . . . . 9 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
269, 25mpan 708 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
27 sqneg 13138 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴↑2) = (𝐴↑2))
2827oveq2d 6831 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (-𝐴↑2)) = (1 − (𝐴↑2)))
2928fveq2d 6358 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(1 − (-𝐴↑2))) = (√‘(1 − (𝐴↑2))))
3026, 29oveq12d 6833 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) = (-(i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
3121, 24, 303eqtrd 2799 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴))) = (-(i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
3211negcld 10592 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → -(i · 𝐴) ∈ ℂ)
3332, 8addcomd 10451 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (-(i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) = ((√‘(1 − (𝐴↑2))) + -(i · 𝐴)))
348, 11negsubd 10611 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(1 − (𝐴↑2))) + -(i · 𝐴)) = ((√‘(1 − (𝐴↑2))) − (i · 𝐴)))
3531, 33, 343eqtrd 2799 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴))) = ((√‘(1 − (𝐴↑2))) − (i · 𝐴)))
3615, 35oveq12d 6833 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) + (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) = (((√‘(1 − (𝐴↑2))) + (i · 𝐴)) + ((√‘(1 − (𝐴↑2))) − (i · 𝐴))))
3782timesd 11488 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (√‘(1 − (𝐴↑2)))) = ((√‘(1 − (𝐴↑2))) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
3812, 36, 373eqtr4d 2805 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) + (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) = (2 · (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
3938oveq1d 6830 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) + (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) / 2) = ((2 · (√‘(1 − (𝐴↑2)))) / 2))
40 2cnd 11306 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
41 2ne0 11326 . . . 4 2 ≠ 0
4241a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
438, 40, 42divcan3d 11019 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (√‘(1 − (𝐴↑2)))) / 2) = (√‘(1 − (𝐴↑2))))
443, 39, 433eqtrd 2799 1 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(arcsin‘𝐴)) = (√‘(1 − (𝐴↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2140  wne 2933  cfv 6050  (class class class)co 6815  cc 10147  0cc0 10149  1c1 10150  ici 10151   + caddc 10152   · cmul 10154  cmin 10479  -cneg 10480   / cdiv 10897  2c2 11283  cexp 13075  csqrt 14193  expce 15012  cosccos 15015  arcsincasin 24810
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-inf2 8714  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227  ax-addf 10228  ax-mulf 10229
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-iin 4676  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-se 5227  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-isom 6059  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-of 7064  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-supp 7466  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-2o 7732  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-pm 8029  df-ixp 8078  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-fsupp 8444  df-fi 8485  df-sup 8516  df-inf 8517  df-oi 8583  df-card 8976  df-cda 9203  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-9 11299  df-n0 11506  df-z 11591  df-dec 11707  df-uz 11901  df-q 12003  df-rp 12047  df-xneg 12160  df-xadd 12161  df-xmul 12162  df-ioo 12393  df-ioc 12394  df-ico 12395  df-icc 12396  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-fl 12808  df-mod 12884  df-seq 13017  df-exp 13076  df-fac 13276  df-bc 13305  df-hash 13333  df-shft 14027  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sqrt 14195  df-abs 14196  df-limsup 14422  df-clim 14439  df-rlim 14440  df-sum 14637  df-ef 15018  df-sin 15020  df-cos 15021  df-pi 15023  df-struct 16082  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-ress 16088  df-plusg 16177  df-mulr 16178  df-starv 16179  df-sca 16180  df-vsca 16181  df-ip 16182  df-tset 16183  df-ple 16184  df-ds 16187  df-unif 16188  df-hom 16189  df-cco 16190  df-rest 16306  df-topn 16307  df-0g 16325  df-gsum 16326  df-topgen 16327  df-pt 16328  df-prds 16331  df-xrs 16385  df-qtop 16390  df-imas 16391  df-xps 16393  df-mre 16469  df-mrc 16470  df-acs 16472  df-mgm 17464  df-sgrp 17506  df-mnd 17517  df-submnd 17558  df-mulg 17763  df-cntz 17971  df-cmn 18416  df-psmet 19961  df-xmet 19962  df-met 19963  df-bl 19964  df-mopn 19965  df-fbas 19966  df-fg 19967  df-cnfld 19970  df-top 20922  df-topon 20939  df-topsp 20960  df-bases 20973  df-cld 21046  df-ntr 21047  df-cls 21048  df-nei 21125  df-lp 21163  df-perf 21164  df-cn 21254  df-cnp 21255  df-haus 21342  df-tx 21588  df-hmeo 21781  df-fil 21872  df-fm 21964  df-flim 21965  df-flf 21966  df-xms 22347  df-ms 22348  df-tms 22349  df-cncf 22903  df-limc 23850  df-dv 23851  df-log 24524  df-asin 24813
This theorem is referenced by:  sinacos  24853
  Copyright terms: Public domain W3C validator