MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cosargd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cosargd 24575
Description: The cosine of the argument is the quotient of the real part and the absolute value. Compare to efiarg 24574. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cosargd.1 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
cosargd.2 (𝜑𝑋 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
cosargd (𝜑 → (cos‘(ℑ‘(log‘𝑋))) = ((ℜ‘𝑋) / (abs‘𝑋)))

Proof of Theorem cosargd
StepHypRef Expression
1 cosargd.1 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
21cjcld 14144 . . . 4 (𝜑 → (∗‘𝑋) ∈ ℂ)
31, 2addcld 10265 . . 3 (𝜑 → (𝑋 + (∗‘𝑋)) ∈ ℂ)
41abscld 14383 . . . 4 (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
54recnd 10274 . . 3 (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℂ)
6 2cnd 11299 . . 3 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
7 cosargd.2 . . . 4 (𝜑𝑋 ≠ 0)
81, 7absne0d 14394 . . 3 (𝜑 → (abs‘𝑋) ≠ 0)
9 2ne0 11319 . . . 4 2 ≠ 0
109a1i 11 . . 3 (𝜑 → 2 ≠ 0)
113, 5, 6, 8, 10divdiv32d 11032 . 2 (𝜑 → (((𝑋 + (∗‘𝑋)) / (abs‘𝑋)) / 2) = (((𝑋 + (∗‘𝑋)) / 2) / (abs‘𝑋)))
121, 7logcld 24538 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘𝑋) ∈ ℂ)
1312imcld 14143 . . . . 5 (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝑋)) ∈ ℝ)
1413recnd 10274 . . . 4 (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝑋)) ∈ ℂ)
15 cosval 15059 . . . 4 ((ℑ‘(log‘𝑋)) ∈ ℂ → (cos‘(ℑ‘(log‘𝑋))) = (((exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝑋)))) + (exp‘(-i · (ℑ‘(log‘𝑋))))) / 2))
1614, 15syl 17 . . 3 (𝜑 → (cos‘(ℑ‘(log‘𝑋))) = (((exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝑋)))) + (exp‘(-i · (ℑ‘(log‘𝑋))))) / 2))
17 efiarg 24574 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ≠ 0) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝑋)))) = (𝑋 / (abs‘𝑋)))
181, 7, 17syl2anc 573 . . . . . 6 (𝜑 → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝑋)))) = (𝑋 / (abs‘𝑋)))
19 ax-icn 10201 . . . . . . . . . . 11 i ∈ ℂ
2019a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → i ∈ ℂ)
2120, 14mulcld 10266 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (i · (ℑ‘(log‘𝑋))) ∈ ℂ)
22 efcj 15028 . . . . . . . . 9 ((i · (ℑ‘(log‘𝑋))) ∈ ℂ → (exp‘(∗‘(i · (ℑ‘(log‘𝑋))))) = (∗‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝑋))))))
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (exp‘(∗‘(i · (ℑ‘(log‘𝑋))))) = (∗‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝑋))))))
2420, 14cjmuld 14169 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∗‘(i · (ℑ‘(log‘𝑋)))) = ((∗‘i) · (∗‘(ℑ‘(log‘𝑋)))))
25 cji 14107 . . . . . . . . . . . 12 (∗‘i) = -i
2625a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∗‘i) = -i)
2713cjred 14174 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∗‘(ℑ‘(log‘𝑋))) = (ℑ‘(log‘𝑋)))
2826, 27oveq12d 6814 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((∗‘i) · (∗‘(ℑ‘(log‘𝑋)))) = (-i · (ℑ‘(log‘𝑋))))
2924, 28eqtrd 2805 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∗‘(i · (ℑ‘(log‘𝑋)))) = (-i · (ℑ‘(log‘𝑋))))
3029fveq2d 6337 . . . . . . . 8 (𝜑 → (exp‘(∗‘(i · (ℑ‘(log‘𝑋))))) = (exp‘(-i · (ℑ‘(log‘𝑋)))))
3118fveq2d 6337 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∗‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝑋))))) = (∗‘(𝑋 / (abs‘𝑋))))
3223, 30, 313eqtr3d 2813 . . . . . . 7 (𝜑 → (exp‘(-i · (ℑ‘(log‘𝑋)))) = (∗‘(𝑋 / (abs‘𝑋))))
331, 5, 8cjdivd 14171 . . . . . . 7 (𝜑 → (∗‘(𝑋 / (abs‘𝑋))) = ((∗‘𝑋) / (∗‘(abs‘𝑋))))
344cjred 14174 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∗‘(abs‘𝑋)) = (abs‘𝑋))
3534oveq2d 6812 . . . . . . 7 (𝜑 → ((∗‘𝑋) / (∗‘(abs‘𝑋))) = ((∗‘𝑋) / (abs‘𝑋)))
3632, 33, 353eqtrd 2809 . . . . . 6 (𝜑 → (exp‘(-i · (ℑ‘(log‘𝑋)))) = ((∗‘𝑋) / (abs‘𝑋)))
3718, 36oveq12d 6814 . . . . 5 (𝜑 → ((exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝑋)))) + (exp‘(-i · (ℑ‘(log‘𝑋))))) = ((𝑋 / (abs‘𝑋)) + ((∗‘𝑋) / (abs‘𝑋))))
381, 2, 5, 8divdird 11045 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋 + (∗‘𝑋)) / (abs‘𝑋)) = ((𝑋 / (abs‘𝑋)) + ((∗‘𝑋) / (abs‘𝑋))))
3937, 38eqtr4d 2808 . . . 4 (𝜑 → ((exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝑋)))) + (exp‘(-i · (ℑ‘(log‘𝑋))))) = ((𝑋 + (∗‘𝑋)) / (abs‘𝑋)))
4039oveq1d 6811 . . 3 (𝜑 → (((exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝑋)))) + (exp‘(-i · (ℑ‘(log‘𝑋))))) / 2) = (((𝑋 + (∗‘𝑋)) / (abs‘𝑋)) / 2))
4116, 40eqtrd 2805 . 2 (𝜑 → (cos‘(ℑ‘(log‘𝑋))) = (((𝑋 + (∗‘𝑋)) / (abs‘𝑋)) / 2))
42 reval 14054 . . . 4 (𝑋 ∈ ℂ → (ℜ‘𝑋) = ((𝑋 + (∗‘𝑋)) / 2))
431, 42syl 17 . . 3 (𝜑 → (ℜ‘𝑋) = ((𝑋 + (∗‘𝑋)) / 2))
4443oveq1d 6811 . 2 (𝜑 → ((ℜ‘𝑋) / (abs‘𝑋)) = (((𝑋 + (∗‘𝑋)) / 2) / (abs‘𝑋)))
4511, 41, 443eqtr4d 2815 1 (𝜑 → (cos‘(ℑ‘(log‘𝑋))) = ((ℜ‘𝑋) / (abs‘𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  cfv 6030  (class class class)co 6796  cc 10140  0cc0 10142  ici 10144   + caddc 10145   · cmul 10147  -cneg 10473   / cdiv 10890  2c2 11276  ccj 14044  cre 14045  cim 14046  abscabs 14182  expce 14998  cosccos 15001  logclog 24522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220  ax-addf 10221  ax-mulf 10222
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-supp 7451  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8436  df-fi 8477  df-sup 8508  df-inf 8509  df-oi 8575  df-card 8969  df-cda 9196  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-q 11997  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ioc 12385  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14015  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-limsup 14410  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-ef 15004  df-sin 15006  df-cos 15007  df-pi 15009  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-lp 21161  df-perf 21162  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-haus 21340  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-cncf 22901  df-limc 23850  df-dv 23851  df-log 24524
This theorem is referenced by:  cosarg0d  24576  cosangneg2d  24758
  Copyright terms: Public domain W3C validator