MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cos2bnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cos2bnd 14862
Description: Bounds on the cosine of 2. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
cos2bnd (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))

Proof of Theorem cos2bnd
StepHypRef Expression
1 7cn 11064 . . . . . 6 7 ∈ ℂ
2 9cn 11068 . . . . . 6 9 ∈ ℂ
3 9re 11067 . . . . . . 7 9 ∈ ℝ
4 9pos 11082 . . . . . . 7 0 < 9
53, 4gt0ne0ii 10524 . . . . . 6 9 ≠ 0
6 divneg 10679 . . . . . 6 ((7 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0) → -(7 / 9) = (-7 / 9))
71, 2, 5, 6mp3an 1421 . . . . 5 -(7 / 9) = (-7 / 9)
8 2cn 11051 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
92, 5pm3.2i 471 . . . . . . 7 (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0)
10 divsubdir 10681 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0)) → ((2 − 9) / 9) = ((2 / 9) − (9 / 9)))
118, 2, 9, 10mp3an 1421 . . . . . 6 ((2 − 9) / 9) = ((2 / 9) − (9 / 9))
122, 8negsubdi2i 10327 . . . . . . . 8 -(9 − 2) = (2 − 9)
13 7p2e9 11132 . . . . . . . . . 10 (7 + 2) = 9
142, 8, 1subadd2i 10329 . . . . . . . . . 10 ((9 − 2) = 7 ↔ (7 + 2) = 9)
1513, 14mpbir 221 . . . . . . . . 9 (9 − 2) = 7
1615negeqi 10234 . . . . . . . 8 -(9 − 2) = -7
1712, 16eqtr3i 2645 . . . . . . 7 (2 − 9) = -7
1817oveq1i 6625 . . . . . 6 ((2 − 9) / 9) = (-7 / 9)
1911, 18eqtr3i 2645 . . . . 5 ((2 / 9) − (9 / 9)) = (-7 / 9)
202, 5dividi 10718 . . . . . 6 (9 / 9) = 1
2120oveq2i 6626 . . . . 5 ((2 / 9) − (9 / 9)) = ((2 / 9) − 1)
227, 19, 213eqtr2ri 2650 . . . 4 ((2 / 9) − 1) = -(7 / 9)
23 ax-1cn 9954 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
248, 23, 2, 5divassi 10741 . . . . . . 7 ((2 · 1) / 9) = (2 · (1 / 9))
25 2t1e2 11136 . . . . . . . 8 (2 · 1) = 2
2625oveq1i 6625 . . . . . . 7 ((2 · 1) / 9) = (2 / 9)
2724, 26eqtr3i 2645 . . . . . 6 (2 · (1 / 9)) = (2 / 9)
28 3cn 11055 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℂ
29 3ne0 11075 . . . . . . . . . 10 3 ≠ 0
3023, 28, 29sqdivi 12904 . . . . . . . . 9 ((1 / 3)↑2) = ((1↑2) / (3↑2))
31 sq1 12914 . . . . . . . . . 10 (1↑2) = 1
32 sq3 12917 . . . . . . . . . 10 (3↑2) = 9
3331, 32oveq12i 6627 . . . . . . . . 9 ((1↑2) / (3↑2)) = (1 / 9)
3430, 33eqtri 2643 . . . . . . . 8 ((1 / 3)↑2) = (1 / 9)
35 cos1bnd 14861 . . . . . . . . . 10 ((1 / 3) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (2 / 3))
3635simpli 474 . . . . . . . . 9 (1 / 3) < (cos‘1)
37 0le1 10511 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 1
38 3pos 11074 . . . . . . . . . . 11 0 < 3
39 1re 9999 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
40 3re 11054 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℝ
4139, 40divge0i 10893 . . . . . . . . . . 11 ((0 ≤ 1 ∧ 0 < 3) → 0 ≤ (1 / 3))
4237, 38, 41mp2an 707 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (1 / 3)
43 0re 10000 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
44 recoscl 14815 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℝ → (cos‘1) ∈ ℝ)
4539, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (cos‘1) ∈ ℝ
4640, 29rereccli 10750 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 3) ∈ ℝ
4743, 46, 45lelttri 10124 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ≤ (1 / 3) ∧ (1 / 3) < (cos‘1)) → 0 < (cos‘1))
4842, 36, 47mp2an 707 . . . . . . . . . . 11 0 < (cos‘1)
4943, 45, 48ltleii 10120 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (cos‘1)
5046, 45lt2sqi 12908 . . . . . . . . . 10 ((0 ≤ (1 / 3) ∧ 0 ≤ (cos‘1)) → ((1 / 3) < (cos‘1) ↔ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2)))
5142, 49, 50mp2an 707 . . . . . . . . 9 ((1 / 3) < (cos‘1) ↔ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2))
5236, 51mpbi 220 . . . . . . . 8 ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2)
5334, 52eqbrtrri 4646 . . . . . . 7 (1 / 9) < ((cos‘1)↑2)
54 2pos 11072 . . . . . . . 8 0 < 2
553, 5rereccli 10750 . . . . . . . . 9 (1 / 9) ∈ ℝ
5645resqcli 12905 . . . . . . . . 9 ((cos‘1)↑2) ∈ ℝ
57 2re 11050 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
5855, 56, 57ltmul2i 10905 . . . . . . . 8 (0 < 2 → ((1 / 9) < ((cos‘1)↑2) ↔ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2))))
5954, 58ax-mp 5 . . . . . . 7 ((1 / 9) < ((cos‘1)↑2) ↔ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2)))
6053, 59mpbi 220 . . . . . 6 (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2))
6127, 60eqbrtrri 4646 . . . . 5 (2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2))
6257, 3, 5redivcli 10752 . . . . . 6 (2 / 9) ∈ ℝ
6357, 56remulcli 10014 . . . . . 6 (2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ
64 ltsub1 10484 . . . . . 6 (((2 / 9) ∈ ℝ ∧ (2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2)) ↔ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)))
6562, 63, 39, 64mp3an 1421 . . . . 5 ((2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2)) ↔ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1))
6661, 65mpbi 220 . . . 4 ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
6722, 66eqbrtrri 4646 . . 3 -(7 / 9) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
6825fveq2i 6161 . . . 4 (cos‘(2 · 1)) = (cos‘2)
69 cos2t 14852 . . . . 5 (1 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 1)) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1))
7023, 69ax-mp 5 . . . 4 (cos‘(2 · 1)) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
7168, 70eqtr3i 2645 . . 3 (cos‘2) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
7267, 71breqtrri 4650 . 2 -(7 / 9) < (cos‘2)
7335simpri 478 . . . . . . . . 9 (cos‘1) < (2 / 3)
74 0le2 11071 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 2
7557, 40divge0i 10893 . . . . . . . . . . 11 ((0 ≤ 2 ∧ 0 < 3) → 0 ≤ (2 / 3))
7674, 38, 75mp2an 707 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (2 / 3)
7757, 40, 29redivcli 10752 . . . . . . . . . . 11 (2 / 3) ∈ ℝ
7845, 77lt2sqi 12908 . . . . . . . . . 10 ((0 ≤ (cos‘1) ∧ 0 ≤ (2 / 3)) → ((cos‘1) < (2 / 3) ↔ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2)))
7949, 76, 78mp2an 707 . . . . . . . . 9 ((cos‘1) < (2 / 3) ↔ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2))
8073, 79mpbi 220 . . . . . . . 8 ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2)
818, 28, 29sqdivi 12904 . . . . . . . . 9 ((2 / 3)↑2) = ((2↑2) / (3↑2))
82 sq2 12916 . . . . . . . . . 10 (2↑2) = 4
8382, 32oveq12i 6627 . . . . . . . . 9 ((2↑2) / (3↑2)) = (4 / 9)
8481, 83eqtri 2643 . . . . . . . 8 ((2 / 3)↑2) = (4 / 9)
8580, 84breqtri 4648 . . . . . . 7 ((cos‘1)↑2) < (4 / 9)
86 4re 11057 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
8786, 3, 5redivcli 10752 . . . . . . . . 9 (4 / 9) ∈ ℝ
8856, 87, 57ltmul2i 10905 . . . . . . . 8 (0 < 2 → (((cos‘1)↑2) < (4 / 9) ↔ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9))))
8954, 88ax-mp 5 . . . . . . 7 (((cos‘1)↑2) < (4 / 9) ↔ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9)))
9085, 89mpbi 220 . . . . . 6 (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9))
91 4cn 11058 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
928, 91, 2, 5divassi 10741 . . . . . . 7 ((2 · 4) / 9) = (2 · (4 / 9))
93 4t2e8 11141 . . . . . . . . 9 (4 · 2) = 8
9491, 8, 93mulcomli 10007 . . . . . . . 8 (2 · 4) = 8
9594oveq1i 6625 . . . . . . 7 ((2 · 4) / 9) = (8 / 9)
9692, 95eqtr3i 2645 . . . . . 6 (2 · (4 / 9)) = (8 / 9)
9790, 96breqtri 4648 . . . . 5 (2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9)
98 8re 11065 . . . . . . 7 8 ∈ ℝ
9998, 3, 5redivcli 10752 . . . . . 6 (8 / 9) ∈ ℝ
100 ltsub1 10484 . . . . . 6 (((2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ ∧ (8 / 9) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9) ↔ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1)))
10163, 99, 39, 100mp3an 1421 . . . . 5 ((2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9) ↔ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1))
10297, 101mpbi 220 . . . 4 ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1)
10320oveq2i 6626 . . . . 5 ((8 / 9) − (9 / 9)) = ((8 / 9) − 1)
104 divneg 10679 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0) → -(1 / 9) = (-1 / 9))
10523, 2, 5, 104mp3an 1421 . . . . . 6 -(1 / 9) = (-1 / 9)
106 8cn 11066 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℂ
1072, 106negsubdi2i 10327 . . . . . . . 8 -(9 − 8) = (8 − 9)
108 8p1e9 11118 . . . . . . . . . 10 (8 + 1) = 9
1092, 106, 23, 108subaddrii 10330 . . . . . . . . 9 (9 − 8) = 1
110109negeqi 10234 . . . . . . . 8 -(9 − 8) = -1
111107, 110eqtr3i 2645 . . . . . . 7 (8 − 9) = -1
112111oveq1i 6625 . . . . . 6 ((8 − 9) / 9) = (-1 / 9)
113 divsubdir 10681 . . . . . . 7 ((8 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0)) → ((8 − 9) / 9) = ((8 / 9) − (9 / 9)))
114106, 2, 9, 113mp3an 1421 . . . . . 6 ((8 − 9) / 9) = ((8 / 9) − (9 / 9))
115105, 112, 1143eqtr2ri 2650 . . . . 5 ((8 / 9) − (9 / 9)) = -(1 / 9)
116103, 115eqtr3i 2645 . . . 4 ((8 / 9) − 1) = -(1 / 9)
117102, 116breqtri 4648 . . 3 ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < -(1 / 9)
11871, 117eqbrtri 4644 . 2 (cos‘2) < -(1 / 9)
11972, 118pm3.2i 471 1 (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4623  cfv 5857  (class class class)co 6615  cc 9894  cr 9895  0cc0 9896  1c1 9897   + caddc 9899   · cmul 9901   < clt 10034  cle 10035  cmin 10226  -cneg 10227   / cdiv 10644  2c2 11030  3c3 11031  4c4 11032  7c7 11035  8c8 11036  9c9 11037  cexp 12816  cosccos 14739
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974  ax-addf 9975  ax-mulf 9976
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-pm 7820  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-rp 11793  df-ioc 12138  df-ico 12139  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-fl 12549  df-seq 12758  df-exp 12817  df-fac 13017  df-bc 13046  df-hash 13074  df-shft 13757  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-limsup 14152  df-clim 14169  df-rlim 14170  df-sum 14367  df-ef 14742  df-sin 14744  df-cos 14745
This theorem is referenced by:  sincos2sgn  14868
  Copyright terms: Public domain W3C validator