MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cos01gt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cos01gt0 15141
Description: The cosine of a positive real number less than or equal to 1 is positive. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
cos01gt0 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (cos‘𝐴))

Proof of Theorem cos01gt0
StepHypRef Expression
1 0xr 10299 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
2 1re 10252 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
3 elioc2 12450 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1)))
41, 2, 3mp2an 710 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1))
54simp1bi 1140 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
65resqcld 13250 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
76recnd 10281 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
8 2cn 11304 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
9 3cn 11308 . . . . . . . 8 3 ∈ ℂ
10 3ne0 11328 . . . . . . . 8 3 ≠ 0
119, 10pm3.2i 470 . . . . . . 7 (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
12 div12 10920 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) = ((𝐴↑2) · (2 / 3)))
138, 11, 12mp3an13 1564 . . . . . 6 ((𝐴↑2) ∈ ℂ → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) = ((𝐴↑2) · (2 / 3)))
147, 13syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) = ((𝐴↑2) · (2 / 3)))
15 2z 11622 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
16 expgt0 13108 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑2))
1715, 16mp3an2 1561 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑2))
18173adant3 1127 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1) → 0 < (𝐴↑2))
194, 18sylbi 207 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (𝐴↑2))
20 2lt3 11408 . . . . . . . . . 10 2 < 3
21 2re 11303 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
22 3re 11307 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℝ
23 3pos 11327 . . . . . . . . . . 11 0 < 3
2421, 22, 22, 23ltdiv1ii 11166 . . . . . . . . . 10 (2 < 3 ↔ (2 / 3) < (3 / 3))
2520, 24mpbi 220 . . . . . . . . 9 (2 / 3) < (3 / 3)
269, 10dividi 10971 . . . . . . . . 9 (3 / 3) = 1
2725, 26breqtri 4830 . . . . . . . 8 (2 / 3) < 1
2821, 22, 10redivcli 11005 . . . . . . . . 9 (2 / 3) ∈ ℝ
29 ltmul2 11087 . . . . . . . . 9 (((2 / 3) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑2))) → ((2 / 3) < 1 ↔ ((𝐴↑2) · (2 / 3)) < ((𝐴↑2) · 1)))
3028, 2, 29mp3an12 1563 . . . . . . . 8 (((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑2)) → ((2 / 3) < 1 ↔ ((𝐴↑2) · (2 / 3)) < ((𝐴↑2) · 1)))
3127, 30mpbii 223 . . . . . . 7 (((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑2)) → ((𝐴↑2) · (2 / 3)) < ((𝐴↑2) · 1))
326, 19, 31syl2anc 696 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) · (2 / 3)) < ((𝐴↑2) · 1))
337mulid1d 10270 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) · 1) = (𝐴↑2))
3432, 33breqtrd 4831 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) · (2 / 3)) < (𝐴↑2))
3514, 34eqbrtrd 4827 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) < (𝐴↑2))
36 0re 10253 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
37 ltle 10339 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
3836, 37mpan 708 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
3938imdistani 728 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
40 le2sq2 13154 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 1)) → (𝐴↑2) ≤ (1↑2))
412, 40mpanr1 721 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐴↑2) ≤ (1↑2))
4239, 41stoic3 1850 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1) → (𝐴↑2) ≤ (1↑2))
434, 42sylbi 207 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑2) ≤ (1↑2))
44 sq1 13173 . . . . 5 (1↑2) = 1
4543, 44syl6breq 4846 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑2) ≤ 1)
46 redivcl 10957 . . . . . . . 8 (((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0) → ((𝐴↑2) / 3) ∈ ℝ)
4722, 10, 46mp3an23 1565 . . . . . . 7 ((𝐴↑2) ∈ ℝ → ((𝐴↑2) / 3) ∈ ℝ)
486, 47syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) / 3) ∈ ℝ)
49 remulcl 10234 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) / 3) ∈ ℝ) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) ∈ ℝ)
5021, 48, 49sylancr 698 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) ∈ ℝ)
51 ltletr 10342 . . . . . 6 (((2 · ((𝐴↑2) / 3)) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((2 · ((𝐴↑2) / 3)) < (𝐴↑2) ∧ (𝐴↑2) ≤ 1) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) < 1))
522, 51mp3an3 1562 . . . . 5 (((2 · ((𝐴↑2) / 3)) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℝ) → (((2 · ((𝐴↑2) / 3)) < (𝐴↑2) ∧ (𝐴↑2) ≤ 1) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) < 1))
5350, 6, 52syl2anc 696 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((2 · ((𝐴↑2) / 3)) < (𝐴↑2) ∧ (𝐴↑2) ≤ 1) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) < 1))
5435, 45, 53mp2and 717 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) < 1)
55 posdif 10734 . . . 4 (((2 · ((𝐴↑2) / 3)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 · ((𝐴↑2) / 3)) < 1 ↔ 0 < (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3)))))
5650, 2, 55sylancl 697 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((2 · ((𝐴↑2) / 3)) < 1 ↔ 0 < (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3)))))
5754, 56mpbid 222 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))))
58 cos01bnd 15136 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < (1 − ((𝐴↑2) / 3))))
5958simpld 477 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴))
60 resubcl 10558 . . . 4 ((1 ∈ ℝ ∧ (2 · ((𝐴↑2) / 3)) ∈ ℝ) → (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) ∈ ℝ)
612, 50, 60sylancr 698 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) ∈ ℝ)
625recoscld 15094 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
63 lttr 10327 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → ((0 < (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) ∧ (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴)) → 0 < (cos‘𝐴)))
6436, 63mp3an1 1560 . . 3 (((1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → ((0 < (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) ∧ (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴)) → 0 < (cos‘𝐴)))
6561, 62, 64syl2anc 696 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((0 < (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) ∧ (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴)) → 0 < (cos‘𝐴)))
6657, 59, 65mp2and 717 1 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (cos‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2140  wne 2933   class class class wbr 4805  cfv 6050  (class class class)co 6815  cc 10147  cr 10148  0cc0 10149  1c1 10150   · cmul 10154  *cxr 10286   < clt 10287  cle 10288  cmin 10479   / cdiv 10897  2c2 11283  3c3 11284  cz 11590  (,]cioc 12390  cexp 13075  cosccos 15015
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-inf2 8714  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227  ax-addf 10228  ax-mulf 10229
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-se 5227  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-isom 6059  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-pm 8029  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-sup 8516  df-inf 8517  df-oi 8583  df-card 8976  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-rp 12047  df-ioc 12394  df-ico 12395  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-fl 12808  df-seq 13017  df-exp 13076  df-fac 13276  df-hash 13333  df-shft 14027  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sqrt 14195  df-abs 14196  df-limsup 14422  df-clim 14439  df-rlim 14440  df-sum 14637  df-ef 15018  df-cos 15021
This theorem is referenced by:  sin02gt0  15142  sincos1sgn  15143  tangtx  24478
  Copyright terms: Public domain W3C validator