Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cos01bnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cos01bnd 15115
 Description: Bounds on the cosine of a positive real number less than or equal to 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
cos01bnd (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < (1 − ((𝐴↑2) / 3))))

Proof of Theorem cos01bnd
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0xr 10278 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
2 1re 10231 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
3 elioc2 12429 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1)))
41, 2, 3mp2an 710 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1))
54simp1bi 1140 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 eqid 2760 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
76recos4p 15068 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) = ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))))
85, 7syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (cos‘𝐴) = ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))))
98eqcomd 2766 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) = (cos‘𝐴))
105recoscld 15073 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
1110recnd 10260 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
125resqcld 13229 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
1312rehalfcld 11471 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℝ)
14 resubcl 10537 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℝ) → (1 − ((𝐴↑2) / 2)) ∈ ℝ)
152, 13, 14sylancr 698 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 − ((𝐴↑2) / 2)) ∈ ℝ)
1615recnd 10260 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 − ((𝐴↑2) / 2)) ∈ ℂ)
17 ax-icn 10187 . . . . . . . . . 10 i ∈ ℂ
185recnd 10260 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℂ)
19 mulcl 10212 . . . . . . . . . 10 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
2017, 18, 19sylancr 698 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
21 4nn0 11503 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ0
226eftlcl 15036 . . . . . . . . 9 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
2320, 21, 22sylancl 697 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
2423recld 14133 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ∈ ℝ)
2524recnd 10260 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ∈ ℂ)
2611, 16, 25subaddd 10602 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((cos‘𝐴) − (1 − ((𝐴↑2) / 2))) = (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ↔ ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) = (cos‘𝐴)))
279, 26mpbird 247 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((cos‘𝐴) − (1 − ((𝐴↑2) / 2))) = (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
2827fveq2d 6356 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘((cos‘𝐴) − (1 − ((𝐴↑2) / 2)))) = (abs‘(ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))))
2925abscld 14374 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) ∈ ℝ)
3023abscld 14374 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ∈ ℝ)
31 6nn 11381 . . . . 5 6 ∈ ℕ
32 nndivre 11248 . . . . 5 (((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → ((𝐴↑2) / 6) ∈ ℝ)
3312, 31, 32sylancl 697 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) / 6) ∈ ℝ)
34 absrele 14247 . . . . 5 𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
3523, 34syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
36 reexpcl 13071 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
375, 21, 36sylancl 697 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
38 nndivre 11248 . . . . . 6 (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
3937, 31, 38sylancl 697 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
406ef01bndlem 15113 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) < ((𝐴↑4) / 6))
41 2nn0 11501 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ0
4241a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 2 ∈ ℕ0)
43 4z 11603 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℤ
44 2re 11282 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
45 4re 11289 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
46 2lt4 11390 . . . . . . . . . 10 2 < 4
4744, 45, 46ltleii 10352 . . . . . . . . 9 2 ≤ 4
48 2z 11601 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
4948eluz1i 11887 . . . . . . . . 9 (4 ∈ (ℤ‘2) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 4))
5043, 47, 49mpbir2an 993 . . . . . . . 8 4 ∈ (ℤ‘2)
5150a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 4 ∈ (ℤ‘2))
524simp2bi 1141 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < 𝐴)
53 0re 10232 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
54 ltle 10318 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
5553, 5, 54sylancr 698 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
5652, 55mpd 15 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 ≤ 𝐴)
574simp3bi 1142 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ≤ 1)
585, 42, 51, 56, 57leexp2rd 13236 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ≤ (𝐴↑2))
59 6re 11293 . . . . . . . 8 6 ∈ ℝ
6059a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 6 ∈ ℝ)
61 6pos 11311 . . . . . . . 8 0 < 6
6261a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < 6)
63 lediv1 11080 . . . . . . 7 (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)) → ((𝐴↑4) ≤ (𝐴↑2) ↔ ((𝐴↑4) / 6) ≤ ((𝐴↑2) / 6)))
6437, 12, 60, 62, 63syl112anc 1481 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) ≤ (𝐴↑2) ↔ ((𝐴↑4) / 6) ≤ ((𝐴↑2) / 6)))
6558, 64mpbid 222 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) ≤ ((𝐴↑2) / 6))
6630, 39, 33, 40, 65ltletrd 10389 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) < ((𝐴↑2) / 6))
6729, 30, 33, 35, 66lelttrd 10387 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) < ((𝐴↑2) / 6))
6828, 67eqbrtrd 4826 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘((cos‘𝐴) − (1 − ((𝐴↑2) / 2)))) < ((𝐴↑2) / 6))
6910, 15, 33absdifltd 14371 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘((cos‘𝐴) − (1 − ((𝐴↑2) / 2)))) < ((𝐴↑2) / 6) ↔ (((1 − ((𝐴↑2) / 2)) − ((𝐴↑2) / 6)) < (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑2) / 6)))))
70 1cnd 10248 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 1 ∈ ℂ)
7113recnd 10260 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℂ)
7233recnd 10260 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) / 6) ∈ ℂ)
7370, 71, 72subsub4d 10615 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) − ((𝐴↑2) / 6)) = (1 − (((𝐴↑2) / 2) + ((𝐴↑2) / 6))))
74 halfpm6th 11445 . . . . . . . . . . 11 (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))
7574simpri 481 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3)
7675oveq2i 6824 . . . . . . . . 9 ((𝐴↑2) · ((1 / 2) + (1 / 6))) = ((𝐴↑2) · (2 / 3))
7712recnd 10260 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
78 2cn 11283 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
79 2ne0 11305 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
8078, 79reccli 10947 . . . . . . . . . . 11 (1 / 2) ∈ ℂ
81 6cn 11294 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℂ
8231nnne0i 11247 . . . . . . . . . . . 12 6 ≠ 0
8381, 82reccli 10947 . . . . . . . . . . 11 (1 / 6) ∈ ℂ
84 adddi 10217 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 6) ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · ((1 / 2) + (1 / 6))) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) + ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
8580, 83, 84mp3an23 1565 . . . . . . . . . 10 ((𝐴↑2) ∈ ℂ → ((𝐴↑2) · ((1 / 2) + (1 / 6))) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) + ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
8677, 85syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) · ((1 / 2) + (1 / 6))) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) + ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
8776, 86syl5eqr 2808 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) · (2 / 3)) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) + ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
88 3cn 11287 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℂ
89 3ne0 11307 . . . . . . . . . . 11 3 ≠ 0
9088, 89pm3.2i 470 . . . . . . . . . 10 (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
91 div12 10899 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) = ((𝐴↑2) · (2 / 3)))
9278, 90, 91mp3an13 1564 . . . . . . . . 9 ((𝐴↑2) ∈ ℂ → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) = ((𝐴↑2) · (2 / 3)))
9377, 92syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) = ((𝐴↑2) · (2 / 3)))
94 divrec 10893 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((𝐴↑2) / 2) = ((𝐴↑2) · (1 / 2)))
9578, 79, 94mp3an23 1565 . . . . . . . . . 10 ((𝐴↑2) ∈ ℂ → ((𝐴↑2) / 2) = ((𝐴↑2) · (1 / 2)))
9677, 95syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) / 2) = ((𝐴↑2) · (1 / 2)))
97 divrec 10893 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) → ((𝐴↑2) / 6) = ((𝐴↑2) · (1 / 6)))
9881, 82, 97mp3an23 1565 . . . . . . . . . 10 ((𝐴↑2) ∈ ℂ → ((𝐴↑2) / 6) = ((𝐴↑2) · (1 / 6)))
9977, 98syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) / 6) = ((𝐴↑2) · (1 / 6)))
10096, 99oveq12d 6831 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑2) / 2) + ((𝐴↑2) / 6)) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) + ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
10187, 93, 1003eqtr4rd 2805 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑2) / 2) + ((𝐴↑2) / 6)) = (2 · ((𝐴↑2) / 3)))
102101oveq2d 6829 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 − (((𝐴↑2) / 2) + ((𝐴↑2) / 6))) = (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))))
10373, 102eqtrd 2794 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) − ((𝐴↑2) / 6)) = (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))))
104103breq1d 4814 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((1 − ((𝐴↑2) / 2)) − ((𝐴↑2) / 6)) < (cos‘𝐴) ↔ (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴)))
10570, 71, 72subsubd 10612 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 − (((𝐴↑2) / 2) − ((𝐴↑2) / 6))) = ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑2) / 6)))
10674simpli 476 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3)
107106oveq2i 6824 . . . . . . . . 9 ((𝐴↑2) · ((1 / 2) − (1 / 6))) = ((𝐴↑2) · (1 / 3))
108 subdi 10655 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 6) ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · ((1 / 2) − (1 / 6))) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) − ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
10980, 83, 108mp3an23 1565 . . . . . . . . . 10 ((𝐴↑2) ∈ ℂ → ((𝐴↑2) · ((1 / 2) − (1 / 6))) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) − ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
11077, 109syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) · ((1 / 2) − (1 / 6))) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) − ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
111107, 110syl5eqr 2808 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) · (1 / 3)) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) − ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
112 divrec 10893 . . . . . . . . . 10 (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → ((𝐴↑2) / 3) = ((𝐴↑2) · (1 / 3)))
11388, 89, 112mp3an23 1565 . . . . . . . . 9 ((𝐴↑2) ∈ ℂ → ((𝐴↑2) / 3) = ((𝐴↑2) · (1 / 3)))
11477, 113syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) / 3) = ((𝐴↑2) · (1 / 3)))
11596, 99oveq12d 6831 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑2) / 2) − ((𝐴↑2) / 6)) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) − ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
116111, 114, 1153eqtr4rd 2805 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑2) / 2) − ((𝐴↑2) / 6)) = ((𝐴↑2) / 3))
117116oveq2d 6829 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 − (((𝐴↑2) / 2) − ((𝐴↑2) / 6))) = (1 − ((𝐴↑2) / 3)))
118105, 117eqtr3d 2796 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑2) / 6)) = (1 − ((𝐴↑2) / 3)))
119118breq2d 4816 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((cos‘𝐴) < ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑2) / 6)) ↔ (cos‘𝐴) < (1 − ((𝐴↑2) / 3))))
120104, 119anbi12d 749 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((((1 − ((𝐴↑2) / 2)) − ((𝐴↑2) / 6)) < (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑2) / 6))) ↔ ((1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < (1 − ((𝐴↑2) / 3)))))
12169, 120bitrd 268 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘((cos‘𝐴) − (1 − ((𝐴↑2) / 2)))) < ((𝐴↑2) / 6) ↔ ((1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < (1 − ((𝐴↑2) / 3)))))
12268, 121mpbid 222 1 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < (1 − ((𝐴↑2) / 3))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  ℂcc 10126  ℝcr 10127  0cc0 10128  1c1 10129  ici 10130   + caddc 10131   · cmul 10133  ℝ*cxr 10265   < clt 10266   ≤ cle 10267   − cmin 10458   / cdiv 10876  ℕcn 11212  2c2 11262  3c3 11263  4c4 11264  6c6 11266  ℕ0cn0 11484  ℤcz 11569  ℤ≥cuz 11879  (,]cioc 12369  ↑cexp 13054  !cfa 13254  ℜcre 14036  abscabs 14173  Σcsu 14615  cosccos 14994 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-hash 13312  df-shft 14006  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-ef 14997  df-cos 15000 This theorem is referenced by:  cos1bnd  15116  cos01gt0  15120  tangtx  24456
 Copyright terms: Public domain W3C validator