Theorem cos0 14824

Description: Value of the cosine function at 0. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
cos0	⊢ (cos‘0) = 1

Proof of Theorem cos0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10000	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		recosval 14810	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℝ → (cos‘0) = (ℜ‘(exp‘(i · 0))))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (cos‘0) = (ℜ‘(exp‘(i · 0)))
4		it0e0 11214	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
5	4	fveq2i 6161	. . . . 5 ⊢ (exp‘(i · 0)) = (exp‘0)
6		ef0 14765	. . . . 5 ⊢ (exp‘0) = 1
7	5, 6	eqtri 2643	. . . 4 ⊢ (exp‘(i · 0)) = 1
8	7	fveq2i 6161	. . 3 ⊢ (ℜ‘(exp‘(i · 0))) = (ℜ‘1)
9		re1 13844	. . 3 ⊢ (ℜ‘1) = 1
10	8, 9	eqtri 2643	. 2 ⊢ (ℜ‘(exp‘(i · 0))) = 1
11	3, 10	eqtri 2643	1 ⊢ (cos‘0) = 1

Syntax hints:   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615  ℝcr 9895  0cc0 9896  1c1 9897  ici 9898   · cmul 9901  ℜcre 13787  expce 14736  cosccos 14739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974  ax-addf 9975  ax-mulf 9976

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-pm 7820  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-rp 11793  df-ico 12139  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-fl 12549  df-seq 12758  df-exp 12817  df-fac 13017  df-hash 13074  df-shft 13757  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-limsup 14152  df-clim 14169  df-rlim 14170  df-sum 14367  df-ef 14742  df-cos 14745

This theorem is referenced by:  tan0  14825  sincossq  14850  demoivreALT  14875  cos2kpi  24174  coseq00topi  24192  recosf1o  24219  ex-co  27183  tan2h  33072  cosknegpi  39415  itgsin0pilem1  39502  fourierdlem62  39722  fourierdlem83  39743  sqwvfoura  39782  sqwvfourb  39783  sec0  41824