MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coprmdvdsOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coprmdvdsOLD 15414
Description: If an integer divides the product of two integers and is coprime to one of them, then it divides the other. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) Obsolete version of coprmdvds 15413 as of 10-Jul-2021. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
coprmdvdsOLD ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → 𝐾𝑁))

Proof of Theorem coprmdvdsOLD
StepHypRef Expression
1 zcn 11420 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
2 zcn 11420 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3 mulcom 10060 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑀))
41, 2, 3syl2an 493 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑀))
543adant1 1099 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑀))
65breq2d 4697 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ 𝐾 ∥ (𝑁 · 𝑀)))
7 dvdsmul2 15051 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∥ (𝑁 · 𝐾))
87ancoms 468 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∥ (𝑁 · 𝐾))
983adant2 1100 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∥ (𝑁 · 𝐾))
10 simp1 1081 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
11 zmulcl 11464 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝐾) ∈ ℤ)
1211ancoms 468 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝐾) ∈ ℤ)
13123adant2 1100 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝐾) ∈ ℤ)
14 zmulcl 11464 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℤ)
1514ancoms 468 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℤ)
16153adant1 1099 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℤ)
17 dvdsgcd 15308 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 · 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑁 · 𝑀) ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ (𝑁 · 𝐾) ∧ 𝐾 ∥ (𝑁 · 𝑀)) → 𝐾 ∥ ((𝑁 · 𝐾) gcd (𝑁 · 𝑀))))
1810, 13, 16, 17syl3anc 1366 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ (𝑁 · 𝐾) ∧ 𝐾 ∥ (𝑁 · 𝑀)) → 𝐾 ∥ ((𝑁 · 𝐾) gcd (𝑁 · 𝑀))))
199, 18mpand 711 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ (𝑁 · 𝑀) → 𝐾 ∥ ((𝑁 · 𝐾) gcd (𝑁 · 𝑀))))
206, 19sylbid 230 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁) → 𝐾 ∥ ((𝑁 · 𝐾) gcd (𝑁 · 𝑀))))
2120adantr 480 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁) → 𝐾 ∥ ((𝑁 · 𝐾) gcd (𝑁 · 𝑀))))
22 absmulgcd 15313 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝐾) gcd (𝑁 · 𝑀)) = (abs‘(𝑁 · (𝐾 gcd 𝑀))))
23223coml 1292 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝐾) gcd (𝑁 · 𝑀)) = (abs‘(𝑁 · (𝐾 gcd 𝑀))))
2423adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → ((𝑁 · 𝐾) gcd (𝑁 · 𝑀)) = (abs‘(𝑁 · (𝐾 gcd 𝑀))))
25 oveq2 6698 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 gcd 𝑀) = 1 → (𝑁 · (𝐾 gcd 𝑀)) = (𝑁 · 1))
262mulid1d 10095 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 · 1) = 𝑁)
2725, 26sylan9eqr 2707 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (𝑁 · (𝐾 gcd 𝑀)) = 𝑁)
2827fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (abs‘(𝑁 · (𝐾 gcd 𝑀))) = (abs‘𝑁))
29283ad2antl3 1245 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (abs‘(𝑁 · (𝐾 gcd 𝑀))) = (abs‘𝑁))
3024, 29eqtrd 2685 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → ((𝑁 · 𝐾) gcd (𝑁 · 𝑀)) = (abs‘𝑁))
3130breq2d 4697 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (𝐾 ∥ ((𝑁 · 𝐾) gcd (𝑁 · 𝑀)) ↔ 𝐾 ∥ (abs‘𝑁)))
32 dvdsabsb 15048 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾𝑁𝐾 ∥ (abs‘𝑁)))
33323adant2 1100 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾𝑁𝐾 ∥ (abs‘𝑁)))
3433adantr 480 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (𝐾𝑁𝐾 ∥ (abs‘𝑁)))
3531, 34bitr4d 271 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (𝐾 ∥ ((𝑁 · 𝐾) gcd (𝑁 · 𝑀)) ↔ 𝐾𝑁))
3621, 35sylibd 229 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁) → 𝐾𝑁))
3736ex 449 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑀) = 1 → (𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁) → 𝐾𝑁)))
3837com23 86 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁) → ((𝐾 gcd 𝑀) = 1 → 𝐾𝑁)))
3938impd 446 1 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → 𝐾𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  1c1 9975   · cmul 9979  cz 11415  abscabs 14018  cdvds 15027   gcd cgcd 15263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-dvds 15028  df-gcd 15264
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator