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Theorem connpconn 31343
Description: A connected and locally path-connected space is path-connected. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
connpconn ((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) → 𝐽 ∈ PConn)

Proof of Theorem connpconn
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑧 𝑔 𝑠 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 conntop 21268 . . 3 (𝐽 ∈ Conn → 𝐽 ∈ Top)
21adantr 480 . 2 ((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) → 𝐽 ∈ Top)
3 eqid 2651 . . . . . 6 𝐽 = 𝐽
4 simpll 805 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → 𝐽 ∈ Conn)
5 inss1 3866 . . . . . . 7 (𝐽 ∩ (Clsd‘𝐽)) ⊆ 𝐽
6 simplr 807 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) → 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn)
71ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) → 𝐽 ∈ Top)
83topopn 20759 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 ∈ Top → 𝐽𝐽)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) → 𝐽𝐽)
10 simprr 811 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) → 𝑧 𝐽)
11 nlly2i 21327 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn ∧ 𝐽𝐽𝑧 𝐽) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐽𝑢𝐽 (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))
126, 9, 10, 11syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐽𝑢𝐽 (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))
13 simprr1 1129 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) → 𝑧𝑢)
14 eqeq2 2662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑤 → ((𝑓‘1) = 𝑦 ↔ (𝑓‘1) = 𝑤))
1514anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑤 → (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦) ↔ ((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑤)))
1615rexbidv 3081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑤 → (∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦) ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑤)))
1716elrab 3396 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} ↔ (𝑤 𝐽 ∧ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑤)))
1817simprbi 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑤))
19 simprr3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) → (𝐽t 𝑠) ∈ PConn)
2019adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) → (𝐽t 𝑠) ∈ PConn)
21 simprr2 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) → 𝑢𝑠)
2221adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) → 𝑢𝑠)
23 simprll 819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) → 𝑤𝑢)
2422, 23sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) → 𝑤𝑠)
257ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) → 𝐽 ∈ Top)
26 elpwi 4201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽𝑠 𝐽)
2726ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) → 𝑠 𝐽)
2827adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) → 𝑠 𝐽)
293restuni 21014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑠 𝐽) → 𝑠 = (𝐽t 𝑠))
3025, 28, 29syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) → 𝑠 = (𝐽t 𝑠))
3124, 30eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) → 𝑤 (𝐽t 𝑠))
32 simprr 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) → 𝑦𝑢)
3322, 32sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) → 𝑦𝑠)
3433, 30eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) → 𝑦 (𝐽t 𝑠))
35 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐽t 𝑠) = (𝐽t 𝑠)
3635pconncn 31332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐽t 𝑠) ∈ PConn ∧ 𝑤 (𝐽t 𝑠) ∧ 𝑦 (𝐽t 𝑠)) → ∃ ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠))((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))
3720, 31, 34, 36syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) → ∃ ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠))((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))
38 simplrl 817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢) → 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽))
3938ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽))
4025adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → 𝐽 ∈ Top)
41 cnrest2r 21139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐽 ∈ Top → (II Cn (𝐽t 𝑠)) ⊆ (II Cn 𝐽))
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → (II Cn (𝐽t 𝑠)) ⊆ (II Cn 𝐽))
43 simprl 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)))
4442, 43sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → ∈ (II Cn 𝐽))
45 simplrr 818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢) → ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))
4645ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))
4746simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → (𝑔‘1) = 𝑤)
48 simprrl 821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → (‘0) = 𝑤)
4947, 48eqtr4d 2688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → (𝑔‘1) = (‘0))
5039, 44, 49pcocn 22863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → (𝑔(*𝑝𝐽)) ∈ (II Cn 𝐽))
5139, 44pco0 22860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → ((𝑔(*𝑝𝐽))‘0) = (𝑔‘0))
5246simpld 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → (𝑔‘0) = 𝑥)
5351, 52eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → ((𝑔(*𝑝𝐽))‘0) = 𝑥)
5439, 44pco1 22861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → ((𝑔(*𝑝𝐽))‘1) = (‘1))
55 simprrr 822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → (‘1) = 𝑦)
5654, 55eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → ((𝑔(*𝑝𝐽))‘1) = 𝑦)
57 fveq1 6228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑓 = (𝑔(*𝑝𝐽)) → (𝑓‘0) = ((𝑔(*𝑝𝐽))‘0))
5857eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑓 = (𝑔(*𝑝𝐽)) → ((𝑓‘0) = 𝑥 ↔ ((𝑔(*𝑝𝐽))‘0) = 𝑥))
59 fveq1 6228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑓 = (𝑔(*𝑝𝐽)) → (𝑓‘1) = ((𝑔(*𝑝𝐽))‘1))
6059eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑓 = (𝑔(*𝑝𝐽)) → ((𝑓‘1) = 𝑦 ↔ ((𝑔(*𝑝𝐽))‘1) = 𝑦))
6158, 60anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑓 = (𝑔(*𝑝𝐽)) → (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦) ↔ (((𝑔(*𝑝𝐽))‘0) = 𝑥 ∧ ((𝑔(*𝑝𝐽))‘1) = 𝑦)))
6261rspcev 3340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑔(*𝑝𝐽)) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (((𝑔(*𝑝𝐽))‘0) = 𝑥 ∧ ((𝑔(*𝑝𝐽))‘1) = 𝑦)) → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
6350, 53, 56, 62syl12anc 1364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
6437, 63rexlimddv 3064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
6564anassrs 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ (𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤)))) ∧ 𝑦𝑢) → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
6665ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ (𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤)))) → ∀𝑦𝑢𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
6766anassrs 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ 𝑤𝑢) ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) → ∀𝑦𝑢𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
6867rexlimdvaa 3061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ 𝑤𝑢) → (∃𝑔 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤) → ∀𝑦𝑢𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)))
6921adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ 𝑤𝑢) → 𝑢𝑠)
70 simplrl 817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ 𝑤𝑢) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐽)
7170, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ 𝑤𝑢) → 𝑠 𝐽)
7269, 71sstrd 3646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ 𝑤𝑢) → 𝑢 𝐽)
7368, 72jctild 565 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ 𝑤𝑢) → (∃𝑔 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤) → (𝑢 𝐽 ∧ ∀𝑦𝑢𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))))
74 fveq1 6228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 = 𝑔 → (𝑓‘0) = (𝑔‘0))
7574eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 = 𝑔 → ((𝑓‘0) = 𝑥 ↔ (𝑔‘0) = 𝑥))
76 fveq1 6228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 = 𝑔 → (𝑓‘1) = (𝑔‘1))
7776eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 = 𝑔 → ((𝑓‘1) = 𝑤 ↔ (𝑔‘1) = 𝑤))
7875, 77anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 = 𝑔 → (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑤) ↔ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤)))
7978cbvrexv 3202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑤) ↔ ∃𝑔 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))
80 ssrab 3713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 ⊆ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} ↔ (𝑢 𝐽 ∧ ∀𝑦𝑢𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)))
8173, 79, 803imtr4g 285 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ 𝑤𝑢) → (∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑤) → 𝑢 ⊆ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)}))
8218, 81syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ 𝑤𝑢) → (𝑤 ∈ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} → 𝑢 ⊆ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)}))
8382ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) → ∀𝑤𝑢 (𝑤 ∈ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} → 𝑢 ⊆ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)}))
8413, 83jca 553 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) → (𝑧𝑢 ∧ ∀𝑤𝑢 (𝑤 ∈ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} → 𝑢 ⊆ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)})))
8584expr 642 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐽) → ((𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn) → (𝑧𝑢 ∧ ∀𝑤𝑢 (𝑤 ∈ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} → 𝑢 ⊆ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)}))))
8685reximdv 3045 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐽) → (∃𝑢𝐽 (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn) → ∃𝑢𝐽 (𝑧𝑢 ∧ ∀𝑤𝑢 (𝑤 ∈ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} → 𝑢 ⊆ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)}))))
8786rexlimdva 3060 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) → (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐽𝑢𝐽 (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn) → ∃𝑢𝐽 (𝑧𝑢 ∧ ∀𝑤𝑢 (𝑤 ∈ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} → 𝑢 ⊆ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)}))))
8812, 87mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) → ∃𝑢𝐽 (𝑧𝑢 ∧ ∀𝑤𝑢 (𝑤 ∈ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} → 𝑢 ⊆ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)})))
8988anassrs 681 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) ∧ 𝑧 𝐽) → ∃𝑢𝐽 (𝑧𝑢 ∧ ∀𝑤𝑢 (𝑤 ∈ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} → 𝑢 ⊆ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)})))
9089ralrimiva 2995 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → ∀𝑧 𝐽𝑢𝐽 (𝑧𝑢 ∧ ∀𝑤𝑢 (𝑤 ∈ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} → 𝑢 ⊆ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)})))
911ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
92 ssrab2 3720 . . . . . . . . 9 {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} ⊆ 𝐽
933isclo2 20940 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} ⊆ 𝐽) → ({𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} ∈ (𝐽 ∩ (Clsd‘𝐽)) ↔ ∀𝑧 𝐽𝑢𝐽 (𝑧𝑢 ∧ ∀𝑤𝑢 (𝑤 ∈ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} → 𝑢 ⊆ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)}))))
9491, 92, 93sylancl 695 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → ({𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} ∈ (𝐽 ∩ (Clsd‘𝐽)) ↔ ∀𝑧 𝐽𝑢𝐽 (𝑧𝑢 ∧ ∀𝑤𝑢 (𝑤 ∈ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} → 𝑢 ⊆ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)}))))
9590, 94mpbird 247 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} ∈ (𝐽 ∩ (Clsd‘𝐽)))
965, 95sseldi 3634 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} ∈ 𝐽)
97 simpr 476 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → 𝑥 𝐽)
98 iitopon 22729 . . . . . . . . . 10 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
9998a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
1003toptopon 20770 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
10191, 100sylib 208 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
102 cnconst2 21135 . . . . . . . . 9 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) ∧ 𝑥 𝐽) → ((0[,]1) × {𝑥}) ∈ (II Cn 𝐽))
10399, 101, 97, 102syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → ((0[,]1) × {𝑥}) ∈ (II Cn 𝐽))
104 0elunit 12328 . . . . . . . . 9 0 ∈ (0[,]1)
105 vex 3234 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
106105fvconst2 6510 . . . . . . . . 9 (0 ∈ (0[,]1) → (((0[,]1) × {𝑥})‘0) = 𝑥)
107104, 106mp1i 13 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → (((0[,]1) × {𝑥})‘0) = 𝑥)
108 1elunit 12329 . . . . . . . . 9 1 ∈ (0[,]1)
109105fvconst2 6510 . . . . . . . . 9 (1 ∈ (0[,]1) → (((0[,]1) × {𝑥})‘1) = 𝑥)
110108, 109mp1i 13 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → (((0[,]1) × {𝑥})‘1) = 𝑥)
111 eqeq2 2662 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑓‘1) = 𝑦 ↔ (𝑓‘1) = 𝑥))
112111anbi2d 740 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦) ↔ ((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥)))
113 fveq1 6228 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑥}) → (𝑓‘0) = (((0[,]1) × {𝑥})‘0))
114113eqeq1d 2653 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑥}) → ((𝑓‘0) = 𝑥 ↔ (((0[,]1) × {𝑥})‘0) = 𝑥))
115 fveq1 6228 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑥}) → (𝑓‘1) = (((0[,]1) × {𝑥})‘1))
116115eqeq1d 2653 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑥}) → ((𝑓‘1) = 𝑥 ↔ (((0[,]1) × {𝑥})‘1) = 𝑥))
117114, 116anbi12d 747 . . . . . . . . 9 (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑥}) → (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥) ↔ ((((0[,]1) × {𝑥})‘0) = 𝑥 ∧ (((0[,]1) × {𝑥})‘1) = 𝑥)))
118112, 117rspc2ev 3355 . . . . . . . 8 ((𝑥 𝐽 ∧ ((0[,]1) × {𝑥}) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((((0[,]1) × {𝑥})‘0) = 𝑥 ∧ (((0[,]1) × {𝑥})‘1) = 𝑥)) → ∃𝑦 𝐽𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
11997, 103, 107, 110, 118syl112anc 1370 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → ∃𝑦 𝐽𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
120 rabn0 3991 . . . . . . 7 ({𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝐽𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
121119, 120sylibr 224 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} ≠ ∅)
122 inss2 3867 . . . . . . 7 (𝐽 ∩ (Clsd‘𝐽)) ⊆ (Clsd‘𝐽)
123122, 95sseldi 3634 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} ∈ (Clsd‘𝐽))
1243, 4, 96, 121, 123connclo 21266 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} = 𝐽)
125124eqcomd 2657 . . . 4 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → 𝐽 = {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)})
126 rabid2 3148 . . . 4 ( 𝐽 = {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} ↔ ∀𝑦 𝐽𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
127125, 126sylib 208 . . 3 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → ∀𝑦 𝐽𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
128127ralrimiva 2995 . 2 ((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) → ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
1293ispconn 31331 . 2 (𝐽 ∈ PConn ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)))
1302, 128, 129sylanbrc 699 1 ((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) → 𝐽 ∈ PConn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  cin 3606  wss 3607  c0 3948  𝒫 cpw 4191  {csn 4210   cuni 4468   × cxp 5141  cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  1c1 9975  [,]cicc 12216  t crest 16128  Topctop 20746  TopOnctopon 20763  Clsdccld 20868   Cn ccn 21076  Conncconn 21262  𝑛-Locally cnlly 21316  IIcii 22725  *𝑝cpco 22846  PConncpconn 31327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-nei 20950  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-conn 21263  df-nlly 21318  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-ii 22727  df-pco 22851  df-pconn 31329
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