MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  connima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem connima 21430
Description: The image of a connected set is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
connima.x 𝑋 = 𝐽
connima.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
connima.a (𝜑𝐴𝑋)
connima.c (𝜑 → (𝐽t 𝐴) ∈ Conn)
Assertion
Ref Expression
connima (𝜑 → (𝐾t (𝐹𝐴)) ∈ Conn)

Proof of Theorem connima
StepHypRef Expression
1 connima.c . 2 (𝜑 → (𝐽t 𝐴) ∈ Conn)
2 connima.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3 connima.x . . . . . . 7 𝑋 = 𝐽
4 eqid 2760 . . . . . . 7 𝐾 = 𝐾
53, 4cnf 21252 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋 𝐾)
62, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑋 𝐾)
7 ffun 6209 . . . . 5 (𝐹:𝑋 𝐾 → Fun 𝐹)
86, 7syl 17 . . . 4 (𝜑 → Fun 𝐹)
9 connima.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑋)
10 fdm 6212 . . . . . 6 (𝐹:𝑋 𝐾 → dom 𝐹 = 𝑋)
116, 10syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑋)
129, 11sseqtr4d 3783 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ dom 𝐹)
13 fores 6285 . . . 4 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹𝐴):𝐴onto→(𝐹𝐴))
148, 12, 13syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐴):𝐴onto→(𝐹𝐴))
15 cntop2 21247 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
162, 15syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ Top)
17 imassrn 5635 . . . . . 6 (𝐹𝐴) ⊆ ran 𝐹
18 frn 6214 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋 𝐾 → ran 𝐹 𝐾)
196, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝐹 𝐾)
2017, 19syl5ss 3755 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐴) ⊆ 𝐾)
214restuni 21168 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐹𝐴) ⊆ 𝐾) → (𝐹𝐴) = (𝐾t (𝐹𝐴)))
2216, 20, 21syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐴) = (𝐾t (𝐹𝐴)))
23 foeq3 6274 . . . 4 ((𝐹𝐴) = (𝐾t (𝐹𝐴)) → ((𝐹𝐴):𝐴onto→(𝐹𝐴) ↔ (𝐹𝐴):𝐴onto (𝐾t (𝐹𝐴))))
2422, 23syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐴):𝐴onto→(𝐹𝐴) ↔ (𝐹𝐴):𝐴onto (𝐾t (𝐹𝐴))))
2514, 24mpbid 222 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐴):𝐴onto (𝐾t (𝐹𝐴)))
263cnrest 21291 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾))
272, 9, 26syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾))
284toptopon 20924 . . . . 5 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
2916, 28sylib 208 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
30 df-ima 5279 . . . . 5 (𝐹𝐴) = ran (𝐹𝐴)
31 eqimss2 3799 . . . . 5 ((𝐹𝐴) = ran (𝐹𝐴) → ran (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐴))
3230, 31mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → ran (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐴))
33 cnrest2 21292 . . . 4 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾) ∧ ran (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝐴) ⊆ 𝐾) → ((𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ (𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn (𝐾t (𝐹𝐴)))))
3429, 32, 20, 33syl3anc 1477 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ (𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn (𝐾t (𝐹𝐴)))))
3527, 34mpbid 222 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn (𝐾t (𝐹𝐴))))
36 eqid 2760 . . 3 (𝐾t (𝐹𝐴)) = (𝐾t (𝐹𝐴))
3736cnconn 21427 . 2 (((𝐽t 𝐴) ∈ Conn ∧ (𝐹𝐴):𝐴onto (𝐾t (𝐹𝐴)) ∧ (𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn (𝐾t (𝐹𝐴)))) → (𝐾t (𝐹𝐴)) ∈ Conn)
381, 25, 35, 37syl3anc 1477 1 (𝜑 → (𝐾t (𝐹𝐴)) ∈ Conn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1632  wcel 2139  wss 3715   cuni 4588  dom cdm 5266  ran crn 5267  cres 5268  cima 5269  Fun wfun 6043  wf 6045  ontowfo 6047  cfv 6049  (class class class)co 6813  t crest 16283  Topctop 20900  TopOnctopon 20917   Cn ccn 21230  Conncconn 21416
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-fin 8125  df-fi 8482  df-rest 16285  df-topgen 16306  df-top 20901  df-topon 20918  df-bases 20952  df-cld 21025  df-cn 21233  df-conn 21417
This theorem is referenced by:  tgpconncompeqg  22116  tgpconncomp  22117
  Copyright terms: Public domain W3C validator