Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  conjsubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem conjsubg 17900
 Description: A conjugated subgroup is also a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
conjghm.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
conjghm.p + = (+g𝐺)
conjghm.m = (-g𝐺)
conjsubg.f 𝐹 = (𝑥𝑆 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴))
Assertion
Ref Expression
conjsubg ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑋) → ran 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,   𝑥, +   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem conjsubg
StepHypRef Expression
1 conjghm.x . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝐺)
21subgss 17803 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆𝑋)
32adantr 466 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑋) → 𝑆𝑋)
4 df-ima 5262 . . . 4 ((𝑥𝑋 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴)) “ 𝑆) = ran ((𝑥𝑋 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴)) ↾ 𝑆)
5 resmpt 5590 . . . . . 6 (𝑆𝑋 → ((𝑥𝑋 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴)) ↾ 𝑆) = (𝑥𝑆 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴)))
6 conjsubg.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥𝑆 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴))
75, 6syl6eqr 2823 . . . . 5 (𝑆𝑋 → ((𝑥𝑋 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴)) ↾ 𝑆) = 𝐹)
87rneqd 5491 . . . 4 (𝑆𝑋 → ran ((𝑥𝑋 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴)) ↾ 𝑆) = ran 𝐹)
94, 8syl5eq 2817 . . 3 (𝑆𝑋 → ((𝑥𝑋 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴)) “ 𝑆) = ran 𝐹)
103, 9syl 17 . 2 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑥𝑋 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴)) “ 𝑆) = ran 𝐹)
11 subgrcl 17807 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
12 conjghm.p . . . . . 6 + = (+g𝐺)
13 conjghm.m . . . . . 6 = (-g𝐺)
14 eqid 2771 . . . . . 6 (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴))
151, 12, 13, 14conjghm 17899 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑥𝑋 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴)) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴)):𝑋1-1-onto𝑋))
1611, 15sylan 569 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑥𝑋 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴)) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴)):𝑋1-1-onto𝑋))
1716simpld 482 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑋) → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴)) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
18 simpl 468 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑋) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
19 ghmima 17889 . . 3 (((𝑥𝑋 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴)) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑥𝑋 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴)) “ 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))
2017, 18, 19syl2anc 573 . 2 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑥𝑋 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴)) “ 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))
2110, 20eqeltrrd 2851 1 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑋) → ran 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3723   ↦ cmpt 4863  ran crn 5250   ↾ cres 5251   “ cima 5252  –1-1-onto→wf1o 6030  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  Grpcgrp 17630  -gcsg 17632  SubGrpcsubg 17796   GrpHom cghm 17865 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-subg 17799  df-ghm 17866 This theorem is referenced by:  slwhash  18246  sylow2  18248  sylow3lem1  18249
 Copyright terms: Public domain W3C validator