Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coltr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coltr 25762
 Description: A transitivity law for colinearity. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglineintmo.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglineintmo.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineintmo.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineintmo.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
coltr.a (𝜑𝐴𝑃)
coltr.b (𝜑𝐵𝑃)
coltr.c (𝜑𝐶𝑃)
coltr.d (𝜑𝐷𝑃)
coltr.1 (𝜑𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
coltr.2 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
Assertion
Ref Expression
coltr (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))

Proof of Theorem coltr
StepHypRef Expression
1 tglineintmo.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 tglineintmo.i . . . . . . . 8 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3 tglineintmo.l . . . . . . . 8 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4 tglineintmo.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 coltr.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝑃)
76adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶𝐷) → 𝐶𝑃)
8 coltr.d . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷𝑃)
98adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶𝐷) → 𝐷𝑃)
10 simpr 471 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶𝐷) → 𝐶𝐷)
111, 2, 3, 5, 7, 9, 10tglinerflx1 25748 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶𝐷) → 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
1211ex 397 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶𝐷𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷)))
1312necon1bd 2960 . . . . 5 (𝜑 → (¬ 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷) → 𝐶 = 𝐷))
1413orrd 843 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
1514adantr 466 . . 3 ((𝜑𝐴 = 𝐶) → (𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
16 simplr 744 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 = 𝐶) ∧ 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐴 = 𝐶)
17 simpr 471 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 = 𝐶) ∧ 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
1816, 17eqeltrd 2849 . . . . 5 (((𝜑𝐴 = 𝐶) ∧ 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
1918ex 397 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐶) → (𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)))
2019orim1d 946 . . 3 ((𝜑𝐴 = 𝐶) → ((𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)))
2115, 20mpd 15 . 2 ((𝜑𝐴 = 𝐶) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
22 coltr.2 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
2322ad2antrr 697 . . 3 (((𝜑𝐴𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
244ad2antrr 697 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
25 coltr.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
2625ad2antrr 697 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → 𝐴𝑃)
276ad2antrr 697 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → 𝐶𝑃)
288ad2antrr 697 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → 𝐷𝑃)
29 coltr.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
3029ad2antrr 697 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → 𝐵𝑃)
31 simpr 471 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
324adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
3325adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐴𝑃)
346adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐶𝑃)
3529adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐵𝑃)
36 simpr 471 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐴𝐶)
37 coltr.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
3837adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
391, 3, 2, 32, 35, 34, 38tglngne 25665 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐵𝐶)
4039necomd 2997 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐶𝐵)
411, 2, 3, 32, 34, 35, 33, 40, 38lncom 25737 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐵))
421, 2, 3, 32, 33, 34, 35, 36, 41, 40lnrot2 25739 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐿𝐶))
4342adantr 466 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐿𝐶))
441, 3, 2, 4, 29, 6, 37tglngne 25665 . . . . 5 (𝜑𝐵𝐶)
4544ad2antrr 697 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → 𝐵𝐶)
461, 2, 3, 24, 26, 27, 28, 30, 31, 43, 45ncolncol 25761 . . 3 (((𝜑𝐴𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → ¬ (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
4723, 46condan 801 . 2 ((𝜑𝐴𝐶) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
4821, 47pm2.61dane 3029 1 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 382   ∨ wo 826   = wceq 1630   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2942  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  Basecbs 16063  TarskiGcstrkg 25549  Itvcitv 25555  LineGclng 25556 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-pm 8011  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-card 8964  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-xnn0 11565  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-hash 13321  df-word 13494  df-concat 13496  df-s1 13497  df-s2 13801  df-s3 13802  df-trkgc 25567  df-trkgb 25568  df-trkgcb 25569  df-trkg 25572  df-cgrg 25626 This theorem is referenced by:  hlpasch  25868  colhp  25882
 Copyright terms: Public domain W3C validator