Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  colrot1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem colrot1 25499
 Description: Rotating the points defining a line. Part of Theorem 4.11 of [Schwabhauser] p. 34. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglngval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglngval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglngval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglngval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x (𝜑𝑋𝑃)
tglngval.y (𝜑𝑌𝑃)
tgcolg.z (𝜑𝑍𝑃)
colrot (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑋 = 𝑌))
Assertion
Ref Expression
colrot1 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍))

Proof of Theorem colrot1
StepHypRef Expression
1 colrot . 2 (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑋 = 𝑌))
2 3orrot 1061 . . . 4 ((𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ↔ (𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∨ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))
3 tglngval.p . . . . . 6 𝑃 = (Base‘𝐺)
4 eqid 2651 . . . . . 6 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
5 tglngval.i . . . . . 6 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6 tglngval.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
7 tgcolg.z . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑃)
8 tglngval.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑃)
9 tglngval.y . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑃)
103, 4, 5, 6, 7, 8, 9tgbtwncomb 25429 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ↔ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)))
11 biidd 252 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ↔ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
123, 4, 5, 6, 8, 7, 9tgbtwncomb 25429 . . . . 5 (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ 𝑍 ∈ (𝑌𝐼𝑋)))
1310, 11, 123orbi123d 1438 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∨ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ↔ (𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∨ 𝑍 ∈ (𝑌𝐼𝑋))))
142, 13syl5bb 272 . . 3 (𝜑 → ((𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ↔ (𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∨ 𝑍 ∈ (𝑌𝐼𝑋))))
15 tglngval.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
163, 15, 5, 6, 8, 9, 7tgcolg 25494 . . 3 (𝜑 → ((𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑋 = 𝑌) ↔ (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))))
173, 15, 5, 6, 9, 7, 8tgcolg 25494 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍) ↔ (𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∨ 𝑍 ∈ (𝑌𝐼𝑋))))
1814, 16, 173bitr4d 300 . 2 (𝜑 → ((𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑋 = 𝑌) ↔ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍)))
191, 18mpbid 222 1 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∨ w3o 1053   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  distcds 15997  TarskiGcstrkg 25374  Itvcitv 25380  LineGclng 25381 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-trkgc 25392  df-trkgb 25393  df-trkgcb 25394  df-trkg 25397 This theorem is referenced by:  colrot2  25500  ncolrot2  25503  ncolncol  25586  midexlem  25632  ragflat3  25646  mideulem2  25671  opphllem  25672  hlpasch  25693  colhp  25707  trgcopy  25741  trgcopyeulem  25742  cgracgr  25755  cgraswap  25757  cgrg3col4  25779  tgasa1  25784
 Copyright terms: Public domain W3C validator