Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  colperpex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem colperpex 25820
 Description: In dimension 2 and above, on a line (𝐴𝐿𝐵) there is always a perpendicular 𝑃 from 𝐴 on a given plane (here given by 𝐶, in case 𝐶 does not lie on the line). Theorem 8.21 of [Schwabhauser] p. 63. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
colperpex.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
colperpex.d = (dist‘𝐺)
colperpex.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
colperpex.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
colperpex.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
colperpex.1 (𝜑𝐴𝑃)
colperpex.2 (𝜑𝐵𝑃)
colperpex.3 (𝜑𝐶𝑃)
colperpex.4 (𝜑𝐴𝐵)
colperpex.5 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
Assertion
Ref Expression
colperpex (𝜑 → ∃𝑝𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
Distinct variable groups:   ,𝑝,𝑡   𝐴,𝑝,𝑡   𝐵,𝑝,𝑡   𝐶,𝑝,𝑡   𝐺,𝑝,𝑡   𝐼,𝑝,𝑡   𝐿,𝑝,𝑡   𝑃,𝑝,𝑡   𝜑,𝑝,𝑡

Proof of Theorem colperpex
Dummy variables 𝑠 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 colperpex.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 colperpex.d . . . . 5 = (dist‘𝐺)
3 colperpex.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 colperpex.l . . . . 5 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 colperpex.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
65ad3antrrr 768 . . . . 5 ((((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7 colperpex.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑃)
87ad3antrrr 768 . . . . 5 ((((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴𝑃)
9 colperpex.2 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑃)
109ad3antrrr 768 . . . . 5 ((((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐵𝑃)
11 simplr 809 . . . . 5 ((((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝑑𝑃)
12 colperpex.4 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐵)
1312ad3antrrr 768 . . . . 5 ((((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴𝐵)
14 simpr 479 . . . . 5 ((((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
151, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 11, 13, 14colperpexlem3 25819 . . . 4 ((((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑝𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝))))
16 simprl 811 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝)))) → (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
17 colperpex.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝑃)
1817ad5antr 775 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝)))) → 𝐶𝑃)
19 simp-5r 831 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝)))) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
2019orcd 406 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝)))) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
215ad5antr 775 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝)))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
22 simplr 809 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝)))) → 𝑝𝑃)
231, 2, 3, 21, 18, 22tgbtwntriv1 25581 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝)))) → 𝐶 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
24 eleq1 2823 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = 𝐶 → (𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
2524orbi1d 741 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝐶 → ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)))
26 eleq1 2823 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝐶 → (𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ↔ 𝐶 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))
2725, 26anbi12d 749 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝐶 → (((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)) ↔ ((𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
2827rspcev 3445 . . . . . . . 8 ((𝐶𝑃 ∧ ((𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (𝐶𝐼𝑝))) → ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))
2918, 20, 23, 28syl12anc 1475 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝)))) → ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))
3016, 29jca 555 . . . . . 6 ((((((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝)))) → ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
3130ex 449 . . . . 5 (((((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝))) → ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))))
3231reximdva 3151 . . . 4 ((((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → (∃𝑝𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝))) → ∃𝑝𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))))
3315, 32mpd 15 . . 3 ((((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑝𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
345adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
35 colperpex.5 . . . . 5 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
3635adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐺DimTarskiG≥2)
377adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴𝑃)
389adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐵𝑃)
3912adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴𝐵)
401, 3, 4, 34, 36, 37, 38, 39tglowdim2ln 25741 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑑𝑃 ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
4133, 40r19.29a 3212 . 2 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑝𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
425adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
437adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴𝑃)
449adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐵𝑃)
4517adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐶𝑃)
4612adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴𝐵)
47 simpr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
481, 2, 3, 4, 42, 43, 44, 45, 46, 47colperpexlem3 25819 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑝𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
4941, 48pm2.61dan 867 1 (𝜑 → ∃𝑝𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1628   ∈ wcel 2135   ≠ wne 2928  ∃wrex 3047   class class class wbr 4800  ‘cfv 6045  (class class class)co 6809  2c2 11258  Basecbs 16055  distcds 16148  TarskiGcstrkg 25524  DimTarskiG≥cstrkgld 25528  Itvcitv 25530  LineGclng 25531  ⟂Gcperpg 25785 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-1o 7725  df-oadd 7729  df-er 7907  df-map 8021  df-pm 8022  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-fin 8121  df-card 8951  df-cda 9178  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-nn 11209  df-2 11267  df-3 11268  df-n0 11481  df-xnn0 11552  df-z 11566  df-uz 11876  df-fz 12516  df-fzo 12656  df-hash 13308  df-word 13481  df-concat 13483  df-s1 13484  df-s2 13789  df-s3 13790  df-trkgc 25542  df-trkgb 25543  df-trkgcb 25544  df-trkgld 25546  df-trkg 25547  df-cgrg 25601  df-leg 25673  df-mir 25743  df-rag 25784  df-perpg 25786 This theorem is referenced by:  midex  25824  oppperpex  25840
 Copyright terms: Public domain W3C validator