MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  colline Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem colline 25743
Description: Three points are colinear iff there is a line through all three of them. Theorem 6.23 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglineintmo.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglineintmo.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineintmo.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineintmo.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
colline.1 (𝜑𝑋𝑃)
colline.2 (𝜑𝑌𝑃)
colline.3 (𝜑𝑍𝑃)
colline.4 (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝑃))
Assertion
Ref Expression
colline (𝜑 → ((𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍) ↔ ∃𝑎 ∈ ran 𝐿(𝑋𝑎𝑌𝑎𝑍𝑎)))
Distinct variable groups:   𝐿,𝑎   𝑋,𝑎   𝑌,𝑎   𝑍,𝑎   𝜑,𝑎
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑎)   𝐺(𝑎)   𝐼(𝑎)

Proof of Theorem colline
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tglineintmo.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 tglineintmo.i . . . . . . . 8 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3 tglineintmo.l . . . . . . . 8 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4 tglineintmo.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54ad4antr 771 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑋𝑥) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 colline.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝑃)
76ad4antr 771 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑋𝑥) → 𝑋𝑃)
8 simplr 809 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑋𝑥) → 𝑥𝑃)
9 simpr 479 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑋𝑥) → 𝑋𝑥)
101, 2, 3, 5, 7, 8, 9tgelrnln 25724 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑋𝑥) → (𝑋𝐿𝑥) ∈ ran 𝐿)
111, 2, 3, 5, 7, 8, 9tglinerflx1 25727 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑋𝑥) → 𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑥))
12 simp-4r 827 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑋𝑥) → 𝑌 = 𝑍)
13 simpllr 817 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑋𝑥) → 𝑋 = 𝑍)
1413, 11eqeltrrd 2840 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑋𝑥) → 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑥))
1512, 14eqeltrd 2839 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑋𝑥) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑥))
16 eleq2 2828 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝑋𝐿𝑥) → (𝑋𝑎𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑥)))
17 eleq2 2828 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝑋𝐿𝑥) → (𝑌𝑎𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑥)))
18 eleq2 2828 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝑋𝐿𝑥) → (𝑍𝑎𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑥)))
1916, 17, 183anbi123d 1548 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑋𝐿𝑥) → ((𝑋𝑎𝑌𝑎𝑍𝑎) ↔ (𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑥) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑥) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑥))))
2019rspcev 3449 . . . . . . 7 (((𝑋𝐿𝑥) ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑥) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑥) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑥))) → ∃𝑎 ∈ ran 𝐿(𝑋𝑎𝑌𝑎𝑍𝑎))
2110, 11, 15, 14, 20syl13anc 1479 . . . . . 6 (((((𝜑𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑋𝑥) → ∃𝑎 ∈ ran 𝐿(𝑋𝑎𝑌𝑎𝑍𝑎))
22 eqid 2760 . . . . . . . 8 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
23 colline.4 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝑃))
241, 22, 2, 4, 23, 6tglowdim1i 25595 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑥𝑃 𝑋𝑥)
2524ad2antrr 764 . . . . . 6 (((𝜑𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) → ∃𝑥𝑃 𝑋𝑥)
2621, 25r19.29a 3216 . . . . 5 (((𝜑𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) → ∃𝑎 ∈ ran 𝐿(𝑋𝑎𝑌𝑎𝑍𝑎))
274ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋𝑍) → 𝐺 ∈ TarskiG)
286ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋𝑍) → 𝑋𝑃)
29 colline.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝑍𝑃)
3029ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋𝑍) → 𝑍𝑃)
31 simpr 479 . . . . . . 7 (((𝜑𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋𝑍) → 𝑋𝑍)
321, 2, 3, 27, 28, 30, 31tgelrnln 25724 . . . . . 6 (((𝜑𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋𝑍) → (𝑋𝐿𝑍) ∈ ran 𝐿)
331, 2, 3, 27, 28, 30, 31tglinerflx1 25727 . . . . . 6 (((𝜑𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋𝑍) → 𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
34 simplr 809 . . . . . . 7 (((𝜑𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋𝑍) → 𝑌 = 𝑍)
351, 2, 3, 27, 28, 30, 31tglinerflx2 25728 . . . . . . 7 (((𝜑𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋𝑍) → 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
3634, 35eqeltrd 2839 . . . . . 6 (((𝜑𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋𝑍) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
37 eleq2 2828 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑋𝐿𝑍) → (𝑋𝑎𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑍)))
38 eleq2 2828 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑋𝐿𝑍) → (𝑌𝑎𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍)))
39 eleq2 2828 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑋𝐿𝑍) → (𝑍𝑎𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑍)))
4037, 38, 393anbi123d 1548 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑋𝐿𝑍) → ((𝑋𝑎𝑌𝑎𝑍𝑎) ↔ (𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑍))))
4140rspcev 3449 . . . . . 6 (((𝑋𝐿𝑍) ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑍))) → ∃𝑎 ∈ ran 𝐿(𝑋𝑎𝑌𝑎𝑍𝑎))
4232, 33, 36, 35, 41syl13anc 1479 . . . . 5 (((𝜑𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋𝑍) → ∃𝑎 ∈ ran 𝐿(𝑋𝑎𝑌𝑎𝑍𝑎))
4326, 42pm2.61dane 3019 . . . 4 ((𝜑𝑌 = 𝑍) → ∃𝑎 ∈ ran 𝐿(𝑋𝑎𝑌𝑎𝑍𝑎))
4443adantlr 753 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍)) ∧ 𝑌 = 𝑍) → ∃𝑎 ∈ ran 𝐿(𝑋𝑎𝑌𝑎𝑍𝑎))
45 simpll 807 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍)) ∧ 𝑌𝑍) → 𝜑)
46 simpr 479 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍)) ∧ 𝑌𝑍) → 𝑌𝑍)
4746neneqd 2937 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍)) ∧ 𝑌𝑍) → ¬ 𝑌 = 𝑍)
48 simplr 809 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍)) ∧ 𝑌𝑍) → (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍))
49 orel2 397 . . . . . 6 𝑌 = 𝑍 → ((𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍) → 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)))
5047, 48, 49sylc 65 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍)) ∧ 𝑌𝑍) → 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
514ad2antrr 764 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)) ∧ 𝑌𝑍) → 𝐺 ∈ TarskiG)
52 colline.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝑃)
5352ad2antrr 764 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)) ∧ 𝑌𝑍) → 𝑌𝑃)
5429ad2antrr 764 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)) ∧ 𝑌𝑍) → 𝑍𝑃)
55 simpr 479 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)) ∧ 𝑌𝑍) → 𝑌𝑍)
561, 2, 3, 51, 53, 54, 55tgelrnln 25724 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)) ∧ 𝑌𝑍) → (𝑌𝐿𝑍) ∈ ran 𝐿)
5745, 50, 46, 56syl21anc 1476 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍)) ∧ 𝑌𝑍) → (𝑌𝐿𝑍) ∈ ran 𝐿)
581, 2, 3, 51, 53, 54, 55tglinerflx1 25727 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)) ∧ 𝑌𝑍) → 𝑌 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
5945, 50, 46, 58syl21anc 1476 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍)) ∧ 𝑌𝑍) → 𝑌 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
601, 2, 3, 51, 53, 54, 55tglinerflx2 25728 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)) ∧ 𝑌𝑍) → 𝑍 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
6145, 50, 46, 60syl21anc 1476 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍)) ∧ 𝑌𝑍) → 𝑍 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
62 eleq2 2828 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑌𝐿𝑍) → (𝑋𝑎𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)))
63 eleq2 2828 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑌𝐿𝑍) → (𝑌𝑎𝑌 ∈ (𝑌𝐿𝑍)))
64 eleq2 2828 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑌𝐿𝑍) → (𝑍𝑎𝑍 ∈ (𝑌𝐿𝑍)))
6562, 63, 643anbi123d 1548 . . . . 5 (𝑎 = (𝑌𝐿𝑍) → ((𝑋𝑎𝑌𝑎𝑍𝑎) ↔ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∧ 𝑌 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∧ 𝑍 ∈ (𝑌𝐿𝑍))))
6665rspcev 3449 . . . 4 (((𝑌𝐿𝑍) ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∧ 𝑌 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∧ 𝑍 ∈ (𝑌𝐿𝑍))) → ∃𝑎 ∈ ran 𝐿(𝑋𝑎𝑌𝑎𝑍𝑎))
6757, 50, 59, 61, 66syl13anc 1479 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍)) ∧ 𝑌𝑍) → ∃𝑎 ∈ ran 𝐿(𝑋𝑎𝑌𝑎𝑍𝑎))
6844, 67pm2.61dane 3019 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍)) → ∃𝑎 ∈ ran 𝐿(𝑋𝑎𝑌𝑎𝑍𝑎))
69 df-ne 2933 . . . . . 6 (𝑌𝑍 ↔ ¬ 𝑌 = 𝑍)
70 simplr1 1261 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋𝑎𝑌𝑎𝑍𝑎)) ∧ 𝑌𝑍) → 𝑋𝑎)
714ad3antrrr 768 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋𝑎𝑌𝑎𝑍𝑎)) ∧ 𝑌𝑍) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7252ad3antrrr 768 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋𝑎𝑌𝑎𝑍𝑎)) ∧ 𝑌𝑍) → 𝑌𝑃)
7329ad3antrrr 768 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋𝑎𝑌𝑎𝑍𝑎)) ∧ 𝑌𝑍) → 𝑍𝑃)
74 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋𝑎𝑌𝑎𝑍𝑎)) ∧ 𝑌𝑍) → 𝑌𝑍)
75 simpllr 817 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋𝑎𝑌𝑎𝑍𝑎)) ∧ 𝑌𝑍) → 𝑎 ∈ ran 𝐿)
76 simplr2 1263 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋𝑎𝑌𝑎𝑍𝑎)) ∧ 𝑌𝑍) → 𝑌𝑎)
77 simplr3 1265 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋𝑎𝑌𝑎𝑍𝑎)) ∧ 𝑌𝑍) → 𝑍𝑎)
781, 2, 3, 71, 72, 73, 74, 74, 75, 76, 77tglinethru 25730 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋𝑎𝑌𝑎𝑍𝑎)) ∧ 𝑌𝑍) → 𝑎 = (𝑌𝐿𝑍))
7970, 78eleqtrd 2841 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋𝑎𝑌𝑎𝑍𝑎)) ∧ 𝑌𝑍) → 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
8079ex 449 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋𝑎𝑌𝑎𝑍𝑎)) → (𝑌𝑍𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)))
8169, 80syl5bir 233 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋𝑎𝑌𝑎𝑍𝑎)) → (¬ 𝑌 = 𝑍𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)))
8281orrd 392 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋𝑎𝑌𝑎𝑍𝑎)) → (𝑌 = 𝑍𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)))
8382orcomd 402 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋𝑎𝑌𝑎𝑍𝑎)) → (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍))
8483r19.29an 3215 . 2 ((𝜑 ∧ ∃𝑎 ∈ ran 𝐿(𝑋𝑎𝑌𝑎𝑍𝑎)) → (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍))
8568, 84impbida 913 1 (𝜑 → ((𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍) ↔ ∃𝑎 ∈ ran 𝐿(𝑋𝑎𝑌𝑎𝑍𝑎)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wrex 3051   class class class wbr 4804  ran crn 5267  cfv 6049  (class class class)co 6813  cle 10267  2c2 11262  chash 13311  Basecbs 16059  distcds 16152  TarskiGcstrkg 25528  Itvcitv 25534  LineGclng 25535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-hash 13312  df-word 13485  df-concat 13487  df-s1 13488  df-s2 13793  df-s3 13794  df-trkgc 25546  df-trkgb 25547  df-trkgcb 25548  df-trkg 25551  df-cgrg 25605
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator