MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  colinearalg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem colinearalg 26010
Description: An algebraic characterization of colinearity. Note the similarity to brbtwn2 26005. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
colinearalg ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑁,𝑗   𝐴,𝑖,𝑗   𝐵,𝑖,𝑗   𝐶,𝑖,𝑗

Proof of Theorem colinearalg
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brbtwn2 26005 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))))
2 brbtwn2 26005 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐴⟩ ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑗) − (𝐵𝑗))) = (((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))))))
323comr 1120 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐴⟩ ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑗) − (𝐵𝑗))) = (((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))))))
4 colinearalglem3 26008 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑗) − (𝐵𝑗))) = (((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
543comr 1120 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑗) − (𝐵𝑗))) = (((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
65anbi2d 742 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑗) − (𝐵𝑗))) = (((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)))) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))))
73, 6bitrd 268 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐴⟩ ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))))
8 brbtwn2 26005 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗))) = (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))))))
9 colinearalglem2 26007 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗))) = (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
109anbi2d 742 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗))) = (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)))) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))))
118, 10bitrd 268 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))))
12113coml 1122 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))))
131, 7, 123orbi123d 1547 . 2 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))))
14 fveecn 26002 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) ∈ ℂ)
15 fveecn 26002 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
16 subid 10512 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶𝑖) ∈ ℂ → ((𝐶𝑖) − (𝐶𝑖)) = 0)
1716oveq2d 6830 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶𝑖) ∈ ℂ → (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐶𝑖))) = (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) · 0))
1817adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) → (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐶𝑖))) = (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) · 0))
19 subcl 10492 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) → ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) ∈ ℂ)
2019mul01d 10447 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) → (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) · 0) = 0)
2118, 20eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) → (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐶𝑖))) = 0)
2214, 15, 21syl2an 495 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁))) → (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐶𝑖))) = 0)
2322anandirs 909 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐶𝑖))) = 0)
24 0le0 11322 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 0
2523, 24syl6eqbr 4843 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0)
2625ralrimiva 3104 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0)
27263adant1 1125 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0)
28 fveq1 6352 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 = 𝐴 → (𝐶𝑖) = (𝐴𝑖))
2928oveq2d 6830 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 = 𝐴 → ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) = ((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)))
3028oveq2d 6830 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 = 𝐴 → ((𝐶𝑖) − (𝐶𝑖)) = ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))
3129, 30oveq12d 6832 . . . . . . . . . 10 (𝐶 = 𝐴 → (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐶𝑖))) = (((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))
3231breq1d 4814 . . . . . . . . 9 (𝐶 = 𝐴 → ((((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0 ↔ (((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0))
3332ralbidv 3124 . . . . . . . 8 (𝐶 = 𝐴 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0))
3427, 33syl5ibcom 235 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐶 = 𝐴 → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0))
35 3mix1 1415 . . . . . . 7 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0))
3634, 35syl6 35 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐶 = 𝐴 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0)))
3736a1dd 50 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐶 = 𝐴 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0))))
38 simp3 1133 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
39 simp1 1131 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
40 eqeefv 26003 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐶 = 𝐴 ↔ ∀𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐶𝑝) = (𝐴𝑝)))
4138, 39, 40syl2anc 696 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐶 = 𝐴 ↔ ∀𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐶𝑝) = (𝐴𝑝)))
4241necon3abid 2968 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐶𝐴 ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐶𝑝) = (𝐴𝑝)))
43 df-ne 2933 . . . . . . . . 9 ((𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝) ↔ ¬ (𝐶𝑝) = (𝐴𝑝))
4443rexbii 3179 . . . . . . . 8 (∃𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝) ↔ ∃𝑝 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝐶𝑝) = (𝐴𝑝))
45 rexnal 3133 . . . . . . . 8 (∃𝑝 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝐶𝑝) = (𝐴𝑝) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐶𝑝) = (𝐴𝑝))
4644, 45bitr2i 265 . . . . . . 7 (¬ ∀𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐶𝑝) = (𝐴𝑝) ↔ ∃𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝))
4742, 46syl6bb 276 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐶𝐴 ↔ ∃𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)))
48 ralcom 3236 . . . . . . . 8 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ↔ ∀𝑗 ∈ (1...𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))
49 fveq2 6353 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑝 → (𝐶𝑗) = (𝐶𝑝))
50 fveq2 6353 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑝 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑝))
5149, 50oveq12d 6832 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑝 → ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗)) = ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))
5251oveq2d 6830 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑝 → (((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))))
53 fveq2 6353 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑝 → (𝐵𝑗) = (𝐵𝑝))
5453, 50oveq12d 6832 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑝 → ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) = ((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)))
5554oveq1d 6829 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑝 → (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) = (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))
5652, 55eqeq12d 2775 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑝 → ((((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ↔ (((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) = (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
5756ralbidv 3124 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑝 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) = (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
5857rspcv 3445 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ (1...𝑁) → (∀𝑗 ∈ (1...𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) = (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
5958ad2antrl 766 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝))) → (∀𝑗 ∈ (1...𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) = (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
60 fveere 26001 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑝) ∈ ℝ)
61603ad2antl1 1201 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑝) ∈ ℝ)
62 fveere 26001 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑝) ∈ ℝ)
63623ad2antl2 1202 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑝) ∈ ℝ)
64 fveere 26001 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑝) ∈ ℝ)
65643ad2antl3 1203 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑝) ∈ ℝ)
6661, 63, 653jca 1123 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℝ))
6766anim1i 593 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → (((𝐴𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)))
6867anasss 682 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝))) → (((𝐴𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)))
69 fveecn 26002 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
70693ad2antl1 1201 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
71143ad2antl2 1202 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) ∈ ℂ)
72153ad2antl3 1203 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
7370, 71, 723jca 1123 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ))
7473adantlr 753 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ))
75 recn 10238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴𝑝) ∈ ℝ → (𝐴𝑝) ∈ ℂ)
76 recn 10238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵𝑝) ∈ ℝ → (𝐵𝑝) ∈ ℂ)
77 recn 10238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶𝑝) ∈ ℝ → (𝐶𝑝) ∈ ℂ)
7875, 76, 773anim123i 1155 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℝ) → ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ))
7978adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ))
8079ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ))
81 simplrr 820 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝))
82 eqcom 2767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵𝑖) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) ↔ (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) = (𝐵𝑖))
83 simp12 1247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → (𝐵𝑖) ∈ ℂ)
84 simp11 1246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
85 simp22 1250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → (𝐵𝑝) ∈ ℂ)
86 simp21 1249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → (𝐴𝑝) ∈ ℂ)
8785, 86subcld 10604 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → ((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) ∈ ℂ)
88 simp23 1251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → (𝐶𝑝) ∈ ℂ)
8988, 86subcld 10604 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) ∈ ℂ)
90 simpr3 1238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ)) → (𝐶𝑝) ∈ ℂ)
91 simpr1 1234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ)) → (𝐴𝑝) ∈ ℂ)
9290, 91subeq0ad 10614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ)) → (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) = 0 ↔ (𝐶𝑝) = (𝐴𝑝)))
9392necon3bid 2976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ)) → (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) ≠ 0 ↔ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)))
9493biimp3ar 1582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) ≠ 0)
9587, 89, 94divcld 11013 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) ∈ ℂ)
96 simp13 1248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
9796, 84subcld 10604 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) ∈ ℂ)
9895, 97mulcld 10272 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ ℂ)
99 subadd2 10497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ ℂ) → (((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) = ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ↔ (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) = (𝐵𝑖)))
10099bicomd 213 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ ℂ) → ((((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) = (𝐵𝑖) ↔ ((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) = ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
10183, 84, 98, 100syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → ((((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) = (𝐵𝑖) ↔ ((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) = ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
10287, 97, 89, 94div23d 11050 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) = ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))
103102eqeq2d 2770 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → (((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) = ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) ↔ ((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) = ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
104 eqcom 2767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) = ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) ↔ ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) = ((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)))
10587, 97mulcld 10272 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ ℂ)
10683, 84subcld 10604 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → ((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) ∈ ℂ)
107105, 89, 106, 94divmuld 11035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) = ((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) ↔ (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖))) = (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
10889, 106mulcomd 10273 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖))) = (((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))))
109108eqeq1d 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → ((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖))) = (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ↔ (((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) = (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
110107, 109bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) = ((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) ↔ (((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) = (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
111104, 110syl5bb 272 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → (((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) = ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) ↔ (((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) = (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
112101, 103, 1113bitr2d 296 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → ((((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) = (𝐵𝑖) ↔ (((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) = (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
11382, 112syl5bb 272 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → ((𝐵𝑖) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) ↔ (((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) = (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
11474, 80, 81, 113syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵𝑖) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) ↔ (((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) = (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
115114ralbidva 3123 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) = (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
116 3simpb 1145 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)))
117 simpl2 1230 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → (𝐵𝑝) ∈ ℝ)
118 simpl1 1228 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → (𝐴𝑝) ∈ ℝ)
119117, 118resubcld 10670 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → ((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) ∈ ℝ)
120 simpl3 1232 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → (𝐶𝑝) ∈ ℝ)
121120, 118resubcld 10670 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) ∈ ℝ)
122 simp3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℝ) → (𝐶𝑝) ∈ ℝ)
123122recnd 10280 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℝ) → (𝐶𝑝) ∈ ℂ)
124753ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℝ) → (𝐴𝑝) ∈ ℂ)
125123, 124subeq0ad 10614 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℝ) → (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) = 0 ↔ (𝐶𝑝) = (𝐴𝑝)))
126125necon3bid 2976 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℝ) → (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) ≠ 0 ↔ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)))
127126biimpar 503 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) ≠ 0)
128119, 121, 127redivcld 11065 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) ∈ ℝ)
129 colinearalglem4 26009 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) ∈ ℝ) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖))) · ((𝐴𝑖) − (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐶𝑖))) ≤ 0))
130 oveq1 6821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵𝑖) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) → ((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) = ((((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐴𝑖)))
131130oveq1d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵𝑖) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) → (((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) = (((((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))
132131breq1d 4814 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵𝑖) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) → ((((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ↔ (((((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0))
133132ralimi 3090 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ↔ (((((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0))
134 ralbi 3206 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ↔ (((((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0))
135133, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0))
136 oveq2 6822 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵𝑖) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) → ((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) = ((𝐶𝑖) − (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖))))
137 oveq2 6822 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵𝑖) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) → ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)) = ((𝐴𝑖) − (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖))))
138136, 137oveq12d 6832 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵𝑖) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) → (((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) = (((𝐶𝑖) − (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖))) · ((𝐴𝑖) − (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)))))
139138breq1d 4814 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵𝑖) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) → ((((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ↔ (((𝐶𝑖) − (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖))) · ((𝐴𝑖) − (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)))) ≤ 0))
140139ralimi 3090 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ↔ (((𝐶𝑖) − (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖))) · ((𝐴𝑖) − (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)))) ≤ 0))
141 ralbi 3206 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ↔ (((𝐶𝑖) − (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖))) · ((𝐴𝑖) − (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)))) ≤ 0) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖))) · ((𝐴𝑖) − (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)))) ≤ 0))
142140, 141syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖))) · ((𝐴𝑖) − (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)))) ≤ 0))
143 oveq1 6821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵𝑖) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) → ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) = ((((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐶𝑖)))
144143oveq2d 6830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵𝑖) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) → (((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) = (((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐶𝑖))))
145144breq1d 4814 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵𝑖) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) → ((((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0 ↔ (((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐶𝑖))) ≤ 0))
146145ralimi 3090 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0 ↔ (((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐶𝑖))) ≤ 0))
147 ralbi 3206 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0 ↔ (((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐶𝑖))) ≤ 0) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐶𝑖))) ≤ 0))
148146, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐶𝑖))) ≤ 0))
149135, 142, 1483orbi123d 1547 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖))) · ((𝐴𝑖) − (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐶𝑖))) ≤ 0)))
150129, 149syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) ∈ ℝ) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0)))
151116, 128, 150syl2an 495 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0)))
152115, 151sylbird 250 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) = (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0)))
15368, 152syldan 488 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) = (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0)))
15459, 153syld 47 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝))) → (∀𝑗 ∈ (1...𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0)))
15548, 154syl5bi 232 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0)))
156155rexlimdvaa 3170 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∃𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0))))
15747, 156sylbid 230 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐶𝐴 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0))))
15837, 157pm2.61dne 3018 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0)))
159158pm4.71rd 670 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ↔ ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))))
160 andir 948 . . . . 5 (((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) ↔ ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))))
161160orbi1i 543 . . . 4 ((((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))) ↔ (((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))))
162 df-3or 1073 . . . . . 6 ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0) ↔ ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0) ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0))
163162anbi1i 733 . . . . 5 (((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) ↔ (((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0) ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
164 andir 948 . . . . 5 ((((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0) ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) ↔ (((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))))
165163, 164bitri 264 . . . 4 (((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) ↔ (((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))))
166 df-3or 1073 . . . 4 (((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))) ↔ (((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))))
167161, 165, 1663bitr4i 292 . . 3 (((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) ↔ ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))))
168159, 167syl6rbb 277 . 2 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
16913, 168bitrd 268 1 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3o 1071  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  wrex 3051  cop 4327   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6814  cc 10146  cr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153  cle 10287  cmin 10478   / cdiv 10896  ...cfz 12539  𝔼cee 25988   Btwn cbtwn 25989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-icc 12395  df-fz 12540  df-seq 13016  df-exp 13075  df-ee 25991  df-btwn 25992
This theorem is referenced by:  axlowdimlem6  26047
  Copyright terms: Public domain W3C validator