MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  colinearalg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem colinearalg 25724
Description: An algebraic characterization of colinearity. Note the similarity to brbtwn2 25719. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
colinearalg ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑁,𝑗   𝐴,𝑖,𝑗   𝐵,𝑖,𝑗   𝐶,𝑖,𝑗

Proof of Theorem colinearalg
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brbtwn2 25719 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))))
2 brbtwn2 25719 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐴⟩ ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑗) − (𝐵𝑗))) = (((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))))))
323comr 1270 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐴⟩ ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑗) − (𝐵𝑗))) = (((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))))))
4 colinearalglem3 25722 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑗) − (𝐵𝑗))) = (((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
543comr 1270 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑗) − (𝐵𝑗))) = (((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
65anbi2d 739 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑗) − (𝐵𝑗))) = (((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)))) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))))
73, 6bitrd 268 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐴⟩ ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))))
8 brbtwn2 25719 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗))) = (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))))))
9 colinearalglem2 25721 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗))) = (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
109anbi2d 739 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗))) = (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)))) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))))
118, 10bitrd 268 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))))
12113coml 1269 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))))
131, 7, 123orbi123d 1395 . 2 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))))
14 fveecn 25716 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) ∈ ℂ)
15 fveecn 25716 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
16 subid 10260 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶𝑖) ∈ ℂ → ((𝐶𝑖) − (𝐶𝑖)) = 0)
1716oveq2d 6631 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶𝑖) ∈ ℂ → (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐶𝑖))) = (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) · 0))
1817adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) → (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐶𝑖))) = (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) · 0))
19 subcl 10240 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) → ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) ∈ ℂ)
2019mul01d 10195 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) → (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) · 0) = 0)
2118, 20eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) → (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐶𝑖))) = 0)
2214, 15, 21syl2an 494 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁))) → (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐶𝑖))) = 0)
2322anandirs 873 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐶𝑖))) = 0)
24 0le0 11070 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 0
2523, 24syl6eqbr 4662 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0)
2625ralrimiva 2962 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0)
27263adant1 1077 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0)
28 fveq1 6157 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 = 𝐴 → (𝐶𝑖) = (𝐴𝑖))
2928oveq2d 6631 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 = 𝐴 → ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) = ((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)))
3028oveq2d 6631 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 = 𝐴 → ((𝐶𝑖) − (𝐶𝑖)) = ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))
3129, 30oveq12d 6633 . . . . . . . . . 10 (𝐶 = 𝐴 → (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐶𝑖))) = (((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))
3231breq1d 4633 . . . . . . . . 9 (𝐶 = 𝐴 → ((((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0 ↔ (((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0))
3332ralbidv 2982 . . . . . . . 8 (𝐶 = 𝐴 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0))
3427, 33syl5ibcom 235 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐶 = 𝐴 → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0))
35 3mix1 1228 . . . . . . 7 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0))
3634, 35syl6 35 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐶 = 𝐴 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0)))
3736a1dd 50 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐶 = 𝐴 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0))))
38 simp3 1061 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
39 simp1 1059 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
40 eqeefv 25717 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐶 = 𝐴 ↔ ∀𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐶𝑝) = (𝐴𝑝)))
4138, 39, 40syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐶 = 𝐴 ↔ ∀𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐶𝑝) = (𝐴𝑝)))
4241necon3abid 2826 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐶𝐴 ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐶𝑝) = (𝐴𝑝)))
43 df-ne 2791 . . . . . . . . 9 ((𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝) ↔ ¬ (𝐶𝑝) = (𝐴𝑝))
4443rexbii 3036 . . . . . . . 8 (∃𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝) ↔ ∃𝑝 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝐶𝑝) = (𝐴𝑝))
45 rexnal 2991 . . . . . . . 8 (∃𝑝 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝐶𝑝) = (𝐴𝑝) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐶𝑝) = (𝐴𝑝))
4644, 45bitr2i 265 . . . . . . 7 (¬ ∀𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐶𝑝) = (𝐴𝑝) ↔ ∃𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝))
4742, 46syl6bb 276 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐶𝐴 ↔ ∃𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)))
48 ralcom 3092 . . . . . . . 8 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ↔ ∀𝑗 ∈ (1...𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))
49 fveq2 6158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑝 → (𝐶𝑗) = (𝐶𝑝))
50 fveq2 6158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑝 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑝))
5149, 50oveq12d 6633 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑝 → ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗)) = ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))
5251oveq2d 6631 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑝 → (((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))))
53 fveq2 6158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑝 → (𝐵𝑗) = (𝐵𝑝))
5453, 50oveq12d 6633 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑝 → ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) = ((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)))
5554oveq1d 6630 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑝 → (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) = (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))
5652, 55eqeq12d 2636 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑝 → ((((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ↔ (((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) = (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
5756ralbidv 2982 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑝 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) = (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
5857rspcv 3295 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ (1...𝑁) → (∀𝑗 ∈ (1...𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) = (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
5958ad2antrl 763 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝))) → (∀𝑗 ∈ (1...𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) = (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
60 fveere 25715 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑝) ∈ ℝ)
61603ad2antl1 1221 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑝) ∈ ℝ)
62 fveere 25715 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑝) ∈ ℝ)
63623ad2antl2 1222 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑝) ∈ ℝ)
64 fveere 25715 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑝) ∈ ℝ)
65643ad2antl3 1223 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑝) ∈ ℝ)
6661, 63, 653jca 1240 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℝ))
6766anim1i 591 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → (((𝐴𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)))
6867anasss 678 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝))) → (((𝐴𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)))
69 fveecn 25716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
70693ad2antl1 1221 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
71143ad2antl2 1222 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) ∈ ℂ)
72153ad2antl3 1223 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
7370, 71, 723jca 1240 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ))
7473adantlr 750 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ))
75 recn 9986 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴𝑝) ∈ ℝ → (𝐴𝑝) ∈ ℂ)
76 recn 9986 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵𝑝) ∈ ℝ → (𝐵𝑝) ∈ ℂ)
77 recn 9986 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶𝑝) ∈ ℝ → (𝐶𝑝) ∈ ℂ)
7875, 76, 773anim123i 1245 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℝ) → ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ))
7978adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ))
8079ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ))
81 simplrr 800 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝))
82 eqcom 2628 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵𝑖) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) ↔ (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) = (𝐵𝑖))
83 simp12 1090 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → (𝐵𝑖) ∈ ℂ)
84 simp11 1089 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
85 simp22 1093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → (𝐵𝑝) ∈ ℂ)
86 simp21 1092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → (𝐴𝑝) ∈ ℂ)
8785, 86subcld 10352 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → ((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) ∈ ℂ)
88 simp23 1094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → (𝐶𝑝) ∈ ℂ)
8988, 86subcld 10352 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) ∈ ℂ)
90 simpr3 1067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ)) → (𝐶𝑝) ∈ ℂ)
91 simpr1 1065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ)) → (𝐴𝑝) ∈ ℂ)
9290, 91subeq0ad 10362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ)) → (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) = 0 ↔ (𝐶𝑝) = (𝐴𝑝)))
9392necon3bid 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ)) → (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) ≠ 0 ↔ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)))
9493biimp3ar 1430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) ≠ 0)
9587, 89, 94divcld 10761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) ∈ ℂ)
96 simp13 1091 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
9796, 84subcld 10352 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) ∈ ℂ)
9895, 97mulcld 10020 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ ℂ)
99 subadd2 10245 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ ℂ) → (((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) = ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ↔ (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) = (𝐵𝑖)))
10099bicomd 213 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ ℂ) → ((((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) = (𝐵𝑖) ↔ ((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) = ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
10183, 84, 98, 100syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → ((((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) = (𝐵𝑖) ↔ ((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) = ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
10287, 97, 89, 94div23d 10798 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) = ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))
103102eqeq2d 2631 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → (((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) = ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) ↔ ((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) = ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
104 eqcom 2628 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) = ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) ↔ ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) = ((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)))
10587, 97mulcld 10020 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ ℂ)
10683, 84subcld 10352 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → ((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) ∈ ℂ)
107105, 89, 106, 94divmuld 10783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) = ((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) ↔ (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖))) = (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
10889, 106mulcomd 10021 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖))) = (((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))))
109108eqeq1d 2623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → ((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖))) = (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ↔ (((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) = (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
110107, 109bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) = ((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) ↔ (((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) = (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
111104, 110syl5bb 272 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → (((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) = ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) ↔ (((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) = (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
112101, 103, 1113bitr2d 296 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → ((((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) = (𝐵𝑖) ↔ (((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) = (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
11382, 112syl5bb 272 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → ((𝐵𝑖) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) ↔ (((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) = (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
11474, 80, 81, 113syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵𝑖) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) ↔ (((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) = (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
115114ralbidva 2981 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) = (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
116 3simpb 1057 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)))
117 simpl2 1063 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → (𝐵𝑝) ∈ ℝ)
118 simpl1 1062 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → (𝐴𝑝) ∈ ℝ)
119117, 118resubcld 10418 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → ((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) ∈ ℝ)
120 simpl3 1064 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → (𝐶𝑝) ∈ ℝ)
121120, 118resubcld 10418 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) ∈ ℝ)
122 simp3 1061 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℝ) → (𝐶𝑝) ∈ ℝ)
123122recnd 10028 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℝ) → (𝐶𝑝) ∈ ℂ)
124753ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℝ) → (𝐴𝑝) ∈ ℂ)
125123, 124subeq0ad 10362 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℝ) → (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) = 0 ↔ (𝐶𝑝) = (𝐴𝑝)))
126125necon3bid 2834 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℝ) → (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) ≠ 0 ↔ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)))
127126biimpar 502 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) ≠ 0)
128119, 121, 127redivcld 10813 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝)) → (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) ∈ ℝ)
129 colinearalglem4 25723 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) ∈ ℝ) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖))) · ((𝐴𝑖) − (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐶𝑖))) ≤ 0))
130 oveq1 6622 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵𝑖) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) → ((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) = ((((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐴𝑖)))
131130oveq1d 6630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵𝑖) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) → (((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) = (((((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))
132131breq1d 4633 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵𝑖) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) → ((((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ↔ (((((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0))
133132ralimi 2948 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ↔ (((((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0))
134 ralbi 3063 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ↔ (((((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0))
135133, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0))
136 oveq2 6623 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵𝑖) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) → ((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) = ((𝐶𝑖) − (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖))))
137 oveq2 6623 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵𝑖) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) → ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)) = ((𝐴𝑖) − (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖))))
138136, 137oveq12d 6633 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵𝑖) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) → (((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) = (((𝐶𝑖) − (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖))) · ((𝐴𝑖) − (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)))))
139138breq1d 4633 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵𝑖) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) → ((((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ↔ (((𝐶𝑖) − (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖))) · ((𝐴𝑖) − (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)))) ≤ 0))
140139ralimi 2948 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ↔ (((𝐶𝑖) − (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖))) · ((𝐴𝑖) − (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)))) ≤ 0))
141 ralbi 3063 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ↔ (((𝐶𝑖) − (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖))) · ((𝐴𝑖) − (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)))) ≤ 0) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖))) · ((𝐴𝑖) − (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)))) ≤ 0))
142140, 141syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖))) · ((𝐴𝑖) − (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)))) ≤ 0))
143 oveq1 6622 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵𝑖) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) → ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) = ((((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐶𝑖)))
144143oveq2d 6631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵𝑖) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) → (((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) = (((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐶𝑖))))
145144breq1d 4633 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵𝑖) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) → ((((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0 ↔ (((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐶𝑖))) ≤ 0))
146145ralimi 2948 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0 ↔ (((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐶𝑖))) ≤ 0))
147 ralbi 3063 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0 ↔ (((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐶𝑖))) ≤ 0) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐶𝑖))) ≤ 0))
148146, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐶𝑖))) ≤ 0))
149135, 142, 1483orbi123d 1395 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖))) · ((𝐴𝑖) − (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐶𝑖))) ≤ 0)))
150129, 149syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) ∈ ℝ) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0)))
151116, 128, 150syl2an 494 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0)))
152115, 151sylbird 250 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) = (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0)))
15368, 152syldan 487 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) = (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0)))
15459, 153syld 47 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝))) → (∀𝑗 ∈ (1...𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0)))
15548, 154syl5bi 232 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0)))
156155rexlimdvaa 3027 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∃𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐶𝑝) ≠ (𝐴𝑝) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0))))
15747, 156sylbid 230 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐶𝐴 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0))))
15837, 157pm2.61dne 2876 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0)))
159158pm4.71rd 666 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ↔ ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))))
160 andir 911 . . . . 5 (((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) ↔ ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))))
161160orbi1i 542 . . . 4 ((((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))) ↔ (((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))))
162 df-3or 1037 . . . . . 6 ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0) ↔ ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0) ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0))
163162anbi1i 730 . . . . 5 (((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) ↔ (((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0) ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
164 andir 911 . . . . 5 ((((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0) ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) ↔ (((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))))
165163, 164bitri 264 . . . 4 (((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) ↔ (((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))))
166 df-3or 1037 . . . 4 (((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))) ↔ (((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))))
167161, 165, 1663bitr4i 292 . . 3 (((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) ↔ ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))))
168159, 167syl6rbb 277 . 2 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
16913, 168bitrd 268 1 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3o 1035  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2908  wrex 2909  cop 4161   class class class wbr 4623  cfv 5857  (class class class)co 6615  cc 9894  cr 9895  0cc0 9896  1c1 9897   + caddc 9899   · cmul 9901  cle 10035  cmin 10226   / cdiv 10644  ...cfz 12284  𝔼cee 25702   Btwn cbtwn 25703
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-icc 12140  df-fz 12285  df-seq 12758  df-exp 12817  df-ee 25705  df-btwn 25706
This theorem is referenced by:  axlowdimlem6  25761
  Copyright terms: Public domain W3C validator