Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  coinfliprv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coinfliprv 30878
Description: The 𝑋 we defined for coin-flip is a random variable. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
coinflip.h 𝐻 ∈ V
coinflip.t 𝑇 ∈ V
coinflip.th 𝐻𝑇
coinflip.2 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})∘𝑓/𝑐 / 2)
coinflip.3 𝑋 = {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}
Assertion
Ref Expression
coinfliprv 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃)

Proof of Theorem coinfliprv
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coinflip.th . . . . . 6 𝐻𝑇
2 coinflip.h . . . . . . 7 𝐻 ∈ V
3 coinflip.t . . . . . . 7 𝑇 ∈ V
4 1ex 10236 . . . . . . 7 1 ∈ V
5 c0ex 10235 . . . . . . 7 0 ∈ V
62, 3, 4, 5fpr 6563 . . . . . 6 (𝐻𝑇 → {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}:{𝐻, 𝑇}⟶{1, 0})
71, 6ax-mp 5 . . . . 5 {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}:{𝐻, 𝑇}⟶{1, 0}
8 coinflip.3 . . . . . 6 𝑋 = {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}
98feq1i 6176 . . . . 5 (𝑋:{𝐻, 𝑇}⟶{1, 0} ↔ {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}:{𝐻, 𝑇}⟶{1, 0})
107, 9mpbir 221 . . . 4 𝑋:{𝐻, 𝑇}⟶{1, 0}
11 coinflip.2 . . . . . 6 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})∘𝑓/𝑐 / 2)
122, 3, 1, 11, 8coinflipuniv 30877 . . . . 5 dom 𝑃 = {𝐻, 𝑇}
1312feq2i 6177 . . . 4 (𝑋: dom 𝑃⟶{1, 0} ↔ 𝑋:{𝐻, 𝑇}⟶{1, 0})
1410, 13mpbir 221 . . 3 𝑋: dom 𝑃⟶{1, 0}
15 1re 10240 . . . . 5 1 ∈ ℝ
16 0re 10241 . . . . 5 0 ∈ ℝ
1715, 16pm3.2i 447 . . . 4 (1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ)
184, 5prss 4484 . . . 4 ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) ↔ {1, 0} ⊆ ℝ)
1917, 18mpbi 220 . . 3 {1, 0} ⊆ ℝ
20 fss 6196 . . 3 ((𝑋: dom 𝑃⟶{1, 0} ∧ {1, 0} ⊆ ℝ) → 𝑋: dom 𝑃⟶ℝ)
2114, 19, 20mp2an 664 . 2 𝑋: dom 𝑃⟶ℝ
22 imassrn 5618 . . . . 5 (𝑋𝑦) ⊆ ran 𝑋
23 dfdm4 5454 . . . . . 6 dom 𝑋 = ran 𝑋
2410fdmi 6192 . . . . . 6 dom 𝑋 = {𝐻, 𝑇}
2523, 24eqtr3i 2794 . . . . 5 ran 𝑋 = {𝐻, 𝑇}
2622, 25sseqtri 3784 . . . 4 (𝑋𝑦) ⊆ {𝐻, 𝑇}
272, 3, 1, 11, 8coinflipspace 30876 . . . . . . 7 dom 𝑃 = 𝒫 {𝐻, 𝑇}
2827eleq2i 2841 . . . . . 6 ((𝑋𝑦) ∈ dom 𝑃 ↔ (𝑋𝑦) ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇})
29 prex 5037 . . . . . . . . 9 {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩} ∈ V
308, 29eqeltri 2845 . . . . . . . 8 𝑋 ∈ V
31 cnvexg 7258 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ V → 𝑋 ∈ V)
32 imaexg 7249 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ V → (𝑋𝑦) ∈ V)
3330, 31, 32mp2b 10 . . . . . . 7 (𝑋𝑦) ∈ V
3433elpw 4301 . . . . . 6 ((𝑋𝑦) ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ↔ (𝑋𝑦) ⊆ {𝐻, 𝑇})
3528, 34bitr2i 265 . . . . 5 ((𝑋𝑦) ⊆ {𝐻, 𝑇} ↔ (𝑋𝑦) ∈ dom 𝑃)
3635biimpi 206 . . . 4 ((𝑋𝑦) ⊆ {𝐻, 𝑇} → (𝑋𝑦) ∈ dom 𝑃)
3726, 36mp1i 13 . . 3 (𝑦 ∈ 𝔅 → (𝑋𝑦) ∈ dom 𝑃)
3837rgen 3070 . 2 𝑦 ∈ 𝔅 (𝑋𝑦) ∈ dom 𝑃
392, 3, 1, 11, 8coinflipprob 30875 . . . . 5 𝑃 ∈ Prob
4039a1i 11 . . . 4 (𝐻 ∈ V → 𝑃 ∈ Prob)
4140isrrvv 30839 . . 3 (𝐻 ∈ V → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ (𝑋: dom 𝑃⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅 (𝑋𝑦) ∈ dom 𝑃)))
422, 41ax-mp 5 . 2 (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ (𝑋: dom 𝑃⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅 (𝑋𝑦) ∈ dom 𝑃))
4321, 38, 42mpbir2an 682 1 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  wne 2942  wral 3060  Vcvv 3349  wss 3721  𝒫 cpw 4295  {cpr 4316  cop 4320   cuni 4572  ccnv 5248  dom cdm 5249  ran crn 5250  cres 5251  cima 5252  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6792  cr 10136  0cc0 10137  1c1 10138   / cdiv 10885  2c2 11271  chash 13320  𝑓/𝑐cofc 30491  𝔅cbrsiga 30578  Probcprb 30803  rRndVarcrrv 30836
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215  ax-addf 10216  ax-mulf 10217
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-iin 4655  df-disj 4753  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-supp 7446  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-ixp 8062  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fsupp 8431  df-fi 8472  df-sup 8503  df-inf 8504  df-oi 8570  df-card 8964  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-xnn0 11565  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ioo 12383  df-ioc 12384  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13008  df-exp 13067  df-fac 13264  df-bc 13293  df-hash 13321  df-shft 14014  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-limsup 14409  df-clim 14426  df-rlim 14427  df-sum 14624  df-ef 15003  df-sin 15005  df-cos 15006  df-pi 15008  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-starv 16163  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-rest 16290  df-topn 16291  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-topgen 16311  df-pt 16312  df-prds 16315  df-ordt 16368  df-xrs 16369  df-qtop 16374  df-imas 16375  df-xps 16377  df-mre 16453  df-mrc 16454  df-acs 16456  df-ps 17407  df-tsr 17408  df-plusf 17448  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-mhm 17542  df-submnd 17543  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-sbg 17634  df-mulg 17748  df-subg 17798  df-cntz 17956  df-cmn 18401  df-abl 18402  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-ring 18756  df-cring 18757  df-subrg 18987  df-abv 19026  df-lmod 19074  df-scaf 19075  df-sra 19386  df-rgmod 19387  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-fbas 19957  df-fg 19958  df-cnfld 19961  df-top 20918  df-topon 20935  df-topsp 20957  df-bases 20970  df-cld 21043  df-ntr 21044  df-cls 21045  df-nei 21122  df-lp 21160  df-perf 21161  df-cn 21251  df-cnp 21252  df-haus 21339  df-tx 21585  df-hmeo 21778  df-fil 21869  df-fm 21961  df-flim 21962  df-flf 21963  df-tmd 22095  df-tgp 22096  df-tsms 22149  df-trg 22182  df-xms 22344  df-ms 22345  df-tms 22346  df-nm 22606  df-ngp 22607  df-nrg 22609  df-nlm 22610  df-ii 22899  df-cncf 22900  df-limc 23849  df-dv 23850  df-log 24523  df-xdiv 29960  df-esum 30424  df-ofc 30492  df-siga 30505  df-sigagen 30536  df-brsiga 30579  df-meas 30593  df-mbfm 30647  df-prob 30804  df-rrv 30837
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator