Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  coinfliplem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coinfliplem 30845
 Description: Division in the extended real numbers can be used for the coin-flip example. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
coinflip.h 𝐻 ∈ V
coinflip.t 𝑇 ∈ V
coinflip.th 𝐻𝑇
coinflip.2 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})∘𝑓/𝑐 / 2)
coinflip.3 𝑋 = {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}
Assertion
Ref Expression
coinfliplem 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})∘𝑓/𝑐 /𝑒 2)

Proof of Theorem coinfliplem
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coinflip.2 . 2 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})∘𝑓/𝑐 / 2)
2 coinflip.h . . 3 𝐻 ∈ V
3 simpr 479 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) → 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇})
4 fvres 6364 . . . . . 6 (𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} → ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})‘𝑥) = (♯‘𝑥))
53, 4syl 17 . . . . 5 ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) → ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})‘𝑥) = (♯‘𝑥))
6 prfi 8396 . . . . . . . 8 {𝐻, 𝑇} ∈ Fin
73elpwid 4310 . . . . . . . 8 ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) → 𝑥 ⊆ {𝐻, 𝑇})
8 ssfi 8341 . . . . . . . 8 (({𝐻, 𝑇} ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ {𝐻, 𝑇}) → 𝑥 ∈ Fin)
96, 7, 8sylancr 698 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) → 𝑥 ∈ Fin)
10 hashcl 13335 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
119, 10syl 17 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
1211nn0red 11540 . . . . 5 ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) → (♯‘𝑥) ∈ ℝ)
135, 12eqeltrd 2835 . . . 4 ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) → ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})‘𝑥) ∈ ℝ)
14 simpr 479 . . . . 5 ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
15 2re 11278 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
1615a1i 11 . . . . 5 ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 2 ∈ ℝ)
17 2ne0 11301 . . . . . 6 2 ≠ 0
1817a1i 11 . . . . 5 ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 2 ≠ 0)
19 rexdiv 29939 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 2 ≠ 0) → (𝑦 /𝑒 2) = (𝑦 / 2))
2014, 16, 18, 19syl3anc 1477 . . . 4 ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 /𝑒 2) = (𝑦 / 2))
21 hashresfn 13318 . . . . 5 (♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) Fn 𝒫 {𝐻, 𝑇}
2221a1i 11 . . . 4 (𝐻 ∈ V → (♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) Fn 𝒫 {𝐻, 𝑇})
23 pwfi 8422 . . . . . 6 ({𝐻, 𝑇} ∈ Fin ↔ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ∈ Fin)
246, 23mpbi 220 . . . . 5 𝒫 {𝐻, 𝑇} ∈ Fin
2524a1i 11 . . . 4 (𝐻 ∈ V → 𝒫 {𝐻, 𝑇} ∈ Fin)
2615a1i 11 . . . 4 (𝐻 ∈ V → 2 ∈ ℝ)
2713, 20, 22, 25, 26ofcfeqd2 30468 . . 3 (𝐻 ∈ V → ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})∘𝑓/𝑐 /𝑒 2) = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})∘𝑓/𝑐 / 2))
282, 27ax-mp 5 . 2 ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})∘𝑓/𝑐 /𝑒 2) = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})∘𝑓/𝑐 / 2)
291, 28eqtr4i 2781 1 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})∘𝑓/𝑐 /𝑒 2)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 383   = wceq 1628   ∈ wcel 2135   ≠ wne 2928  Vcvv 3336   ⊆ wss 3711  𝒫 cpw 4298  {cpr 4319  ⟨cop 4323   ↾ cres 5264   Fn wfn 6040  ‘cfv 6045  (class class class)co 6809  Fincfn 8117  ℝcr 10123  0cc0 10124  1c1 10125   / cdiv 10872  2c2 11258  ℕ0cn0 11480  ♯chash 13307   /𝑒 cxdiv 29930  ∘𝑓/𝑐cofc 30462 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-1o 7725  df-2o 7726  df-oadd 7729  df-er 7907  df-map 8021  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-fin 8121  df-card 8951  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-div 10873  df-nn 11209  df-2 11267  df-n0 11481  df-xnn0 11552  df-z 11566  df-uz 11876  df-xneg 12135  df-xmul 12137  df-hash 13308  df-xdiv 29931  df-ofc 30463 This theorem is referenced by:  coinflipprob  30846
 Copyright terms: Public domain W3C validator