MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cofunex2g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cofunex2g 7173
Description: Existence of a composition when the second member is one-to-one. (Contributed by NM, 8-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
cofunex2g ((𝐴𝑉 ∧ Fun 𝐵) → (𝐴𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem cofunex2g
StepHypRef Expression
1 cnvexg 7154 . . . 4 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
2 cofunexg 7172 . . . 4 ((Fun 𝐵𝐴 ∈ V) → (𝐵𝐴) ∈ V)
31, 2sylan2 490 . . 3 ((Fun 𝐵𝐴𝑉) → (𝐵𝐴) ∈ V)
4 cnvco 5340 . . . . 5 (𝐵𝐴) = (𝐴𝐵)
5 cocnvcnv2 5685 . . . . 5 (𝐴𝐵) = (𝐴𝐵)
6 cocnvcnv1 5684 . . . . 5 (𝐴𝐵) = (𝐴𝐵)
74, 5, 63eqtrri 2678 . . . 4 (𝐴𝐵) = (𝐵𝐴)
8 cnvexg 7154 . . . 4 ((𝐵𝐴) ∈ V → (𝐵𝐴) ∈ V)
97, 8syl5eqel 2734 . . 3 ((𝐵𝐴) ∈ V → (𝐴𝐵) ∈ V)
103, 9syl 17 . 2 ((Fun 𝐵𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) ∈ V)
1110ancoms 468 1 ((𝐴𝑉 ∧ Fun 𝐵) → (𝐴𝐵) ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2030  Vcvv 3231  ccnv 5142  ccom 5147  Fun wfun 5920
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934
This theorem is referenced by:  fsuppco  8348
  Copyright terms: Public domain W3C validator