MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coflim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coflim 9121
Description: A simpler expression for the cofinality predicate, at a limit ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
coflim ((Lim 𝐴𝐵𝐴) → ( 𝐵 = 𝐴 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem coflim
StepHypRef Expression
1 eleq2 2719 . . . . 5 ( 𝐵 = 𝐴 → (𝑥 𝐵𝑥𝐴))
21biimprd 238 . . . 4 ( 𝐵 = 𝐴 → (𝑥𝐴𝑥 𝐵))
3 eluni2 4472 . . . . 5 (𝑥 𝐵 ↔ ∃𝑦𝐵 𝑥𝑦)
4 limord 5822 . . . . . . . . 9 (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
5 ssel2 3631 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝐴𝑦𝐵) → 𝑦𝐴)
6 ordelon 5785 . . . . . . . . 9 ((Ord 𝐴𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ On)
74, 5, 6syl2an 493 . . . . . . . 8 ((Lim 𝐴 ∧ (𝐵𝐴𝑦𝐵)) → 𝑦 ∈ On)
87expr 642 . . . . . . 7 ((Lim 𝐴𝐵𝐴) → (𝑦𝐵𝑦 ∈ On))
9 onelss 5804 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ On → (𝑥𝑦𝑥𝑦))
108, 9syl6 35 . . . . . 6 ((Lim 𝐴𝐵𝐴) → (𝑦𝐵 → (𝑥𝑦𝑥𝑦)))
1110reximdvai 3044 . . . . 5 ((Lim 𝐴𝐵𝐴) → (∃𝑦𝐵 𝑥𝑦 → ∃𝑦𝐵 𝑥𝑦))
123, 11syl5bi 232 . . . 4 ((Lim 𝐴𝐵𝐴) → (𝑥 𝐵 → ∃𝑦𝐵 𝑥𝑦))
132, 12syl9r 78 . . 3 ((Lim 𝐴𝐵𝐴) → ( 𝐵 = 𝐴 → (𝑥𝐴 → ∃𝑦𝐵 𝑥𝑦)))
1413ralrimdv 2997 . 2 ((Lim 𝐴𝐵𝐴) → ( 𝐵 = 𝐴 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦))
15 uniss 4490 . . . . . 6 (𝐵𝐴 𝐵 𝐴)
16153ad2ant2 1103 . . . . 5 ((Lim 𝐴𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) → 𝐵 𝐴)
17 uniss2 4502 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦 𝐴 𝐵)
18173ad2ant3 1104 . . . . 5 ((Lim 𝐴𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) → 𝐴 𝐵)
1916, 18eqssd 3653 . . . 4 ((Lim 𝐴𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) → 𝐵 = 𝐴)
20 limuni 5823 . . . . 5 (Lim 𝐴𝐴 = 𝐴)
21203ad2ant1 1102 . . . 4 ((Lim 𝐴𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) → 𝐴 = 𝐴)
2219, 21eqtr4d 2688 . . 3 ((Lim 𝐴𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) → 𝐵 = 𝐴)
23223expia 1286 . 2 ((Lim 𝐴𝐵𝐴) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦 𝐵 = 𝐴))
2414, 23impbid 202 1 ((Lim 𝐴𝐵𝐴) → ( 𝐵 = 𝐴 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  wss 3607   cuni 4468  Ord word 5760  Oncon0 5761  Lim wlim 5762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-tr 4786  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766
This theorem is referenced by:  cflim3  9122  pwcfsdom  9443
  Copyright terms: Public domain W3C validator