MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coexg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coexg 7282
Description: The composition of two sets is a set. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
coexg ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem coexg
StepHypRef Expression
1 cossxp 5819 . 2 (𝐴𝐵) ⊆ (dom 𝐵 × ran 𝐴)
2 dmexg 7262 . . 3 (𝐵𝑊 → dom 𝐵 ∈ V)
3 rnexg 7263 . . 3 (𝐴𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)
4 xpexg 7125 . . 3 ((dom 𝐵 ∈ V ∧ ran 𝐴 ∈ V) → (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∈ V)
52, 3, 4syl2anr 496 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∈ V)
6 ssexg 4956 . 2 (((𝐴𝐵) ⊆ (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∧ (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∈ V) → (𝐴𝐵) ∈ V)
71, 5, 6sylancr 698 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2139  Vcvv 3340  wss 3715   × cxp 5264  dom cdm 5266  ran crn 5267  ccom 5270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277
This theorem is referenced by:  coex  7283  supp0cosupp0  7503  imacosupp  7504  fsuppco2  8473  fsuppcor  8474  mapfienlem2  8476  wemapwe  8767  cofsmo  9283  relexpsucnnr  13964  supcvg  14787  imasle  16385  setcco  16934  estrcco  16971  pwsco1mhm  17571  pwsco2mhm  17572  symgov  18010  symgcl  18011  gsumval3lem2  18507  gsumzf1o  18513  evls1sca  19890  f1lindf  20363  tngds  22653  climcncf  22904  motplusg  25636  smatfval  30170  eulerpartlemmf  30746  hgt750lemg  31041  cossex  34497  tgrpov  36538  erngmul  36596  erngmul-rN  36604  dvamulr  36802  dvavadd  36805  dvhmulr  36877  mendmulr  38260  relexp0a  38510  choicefi  39891  climexp  40340  dvsinax  40630  stoweidlem27  40747  stoweidlem31  40751  stoweidlem59  40779  uspgrbisymrelALT  42273  rngccoALTV  42498  ringccoALTV  42561
  Copyright terms: Public domain W3C validator