Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coeidlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coeidlem 24038
 Description: Lemma for coeid 24039. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrub.1 𝐴 = (coeff‘𝐹)
dgrub.2 𝑁 = (deg‘𝐹)
coeid.3 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
coeid.4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
coeid.5 (𝜑𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0))
coeid.6 (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
coeid.7 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
Assertion
Ref Expression
coeidlem (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐴   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧   𝐵,𝑘,𝑧   𝑘,𝑀,𝑧   𝑘,𝑁,𝑧
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑧)

Proof of Theorem coeidlem
StepHypRef Expression
1 coeid.7 . 2 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
2 dgrub.1 . . . . . . 7 𝐴 = (coeff‘𝐹)
3 coeid.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
4 coeid.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
5 coeid.5 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0))
6 plybss 23995 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
73, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
8 0cnd 10071 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
98snssd 4372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
107, 9unssd 3822 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
11 cnex 10055 . . . . . . . . . . . 12 ℂ ∈ V
12 ssexg 4837 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
1310, 11, 12sylancl 695 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
14 nn0ex 11336 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
15 elmapg 7912 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∪ {0}) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ↔ 𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
1613, 14, 15sylancl 695 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ↔ 𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
175, 16mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
1817, 10fssd 6095 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵:ℕ0⟶ℂ)
19 coeid.6 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
203, 4, 18, 19, 1coeeq 24028 . . . . . . 7 (𝜑 → (coeff‘𝐹) = 𝐵)
212, 20syl5req 2698 . . . . . 6 (𝜑𝐵 = 𝐴)
2221adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝐵 = 𝐴)
23 fveq1 6228 . . . . . . 7 (𝐵 = 𝐴 → (𝐵𝑘) = (𝐴𝑘))
2423oveq1d 6705 . . . . . 6 (𝐵 = 𝐴 → ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) = ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
2524sumeq2sdv 14479 . . . . 5 (𝐵 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
2622, 25syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
273adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
28 dgrub.2 . . . . . . . . . 10 𝑁 = (deg‘𝐹)
29 dgrcl 24034 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
3028, 29syl5eqel 2734 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3127, 30syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3231nn0zd 11518 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℤ)
334adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
3433nn0zd 11518 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3522imaeq1d 5500 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝐵 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
3619adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝐵 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
3735, 36eqtr3d 2687 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
382, 28dgrlb 24037 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0}) → 𝑁𝑀)
3927, 33, 37, 38syl3anc 1366 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑁𝑀)
40 eluz2 11731 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑀))
4132, 34, 39, 40syl3anbrc 1265 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
42 fzss2 12419 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → (0...𝑁) ⊆ (0...𝑀))
4341, 42syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑁) ⊆ (0...𝑀))
44 elfznn0 12471 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
45 plyssc 24001 . . . . . . . . . . 11 (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
4645, 3sseldi 3634 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
472coef3 24033 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
4846, 47syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
4948adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
5049ffvelrnda 6399 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
51 expcl 12918 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
5251adantll 750 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
5350, 52mulcld 10098 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
5444, 53sylan2 490 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
55 eldifn 3766 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁)) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
5655adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
57 eldifi 3765 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...𝑀))
58 elfznn0 12471 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ0)
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
602, 28dgrub 24035 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → 𝑘𝑁)
61603expia 1286 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
6227, 59, 61syl2an 493 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
63 elfzuz 12376 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ (ℤ‘0))
6457, 63syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘0))
65 elfz5 12372 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘𝑁))
6664, 32, 65syl2anr 494 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘𝑁))
6762, 66sylibrd 249 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ∈ (0...𝑁)))
6867necon1bd 2841 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝐴𝑘) = 0))
6956, 68mpd 15 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (𝐴𝑘) = 0)
7069oveq1d 6705 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) = (0 · (𝑧𝑘)))
71 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
7271, 59, 51syl2an 493 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
7372mul02d 10272 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (0 · (𝑧𝑘)) = 0)
7470, 73eqtrd 2685 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) = 0)
75 fzfid 12812 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑀) ∈ Fin)
7643, 54, 74, 75fsumss 14500 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
7726, 76eqtr4d 2688 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
7877mpteq2dva 4777 . 2 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
791, 78eqtrd 2685 1 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  Vcvv 3231   ∖ cdif 3604   ∪ cun 3605   ⊆ wss 3607  {csn 4210   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762   “ cima 5146  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↑𝑚 cmap 7899  ℂcc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   ≤ cle 10113  ℕ0cn0 11330  ℤcz 11415  ℤ≥cuz 11725  ...cfz 12364  ↑cexp 12900  Σcsu 14460  Polycply 23985  coeffccoe 23987  degcdgr 23988 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-0p 23482  df-ply 23989  df-coe 23991  df-dgr 23992 This theorem is referenced by:  coeid  24039
 Copyright terms: Public domain W3C validator