MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coeid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coeid 24214
Description: Reconstruct a polynomial as an explicit sum of the coefficient function up to the degree of the polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrub.1 𝐴 = (coeff‘𝐹)
dgrub.2 𝑁 = (deg‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
coeid (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐴   𝑘,𝐹   𝑆,𝑘,𝑧   𝑘,𝑁,𝑧   𝑧,𝐹

Proof of Theorem coeid
Dummy variables 𝑎 𝑛 𝑥 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elply2 24172 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑚) · (𝑥𝑚))))))
21simprbi 483 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑚) · (𝑥𝑚)))))
3 dgrub.1 . . . . 5 𝐴 = (coeff‘𝐹)
4 dgrub.2 . . . . 5 𝑁 = (deg‘𝐹)
5 simpll 807 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0))) ∧ ((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑚) · (𝑥𝑚))))) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
6 simplrl 819 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0))) ∧ ((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑚) · (𝑥𝑚))))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
7 simplrr 820 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0))) ∧ ((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑚) · (𝑥𝑚))))) → 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0))
8 simprl 811 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0))) ∧ ((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑚) · (𝑥𝑚))))) → (𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0})
9 simprr 813 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0))) ∧ ((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑚) · (𝑥𝑚))))) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑚) · (𝑥𝑚))))
10 fveq2 6354 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑘 → (𝑎𝑚) = (𝑎𝑘))
11 oveq2 6823 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑘 → (𝑥𝑚) = (𝑥𝑘))
1210, 11oveq12d 6833 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑘 → ((𝑎𝑚) · (𝑥𝑚)) = ((𝑎𝑘) · (𝑥𝑘)))
1312cbvsumv 14646 . . . . . . . 8 Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑚) · (𝑥𝑚)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑥𝑘))
14 oveq1 6822 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑘) = (𝑧𝑘))
1514oveq2d 6831 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑎𝑘) · (𝑥𝑘)) = ((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))
1615sumeq2sdv 14655 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑥𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))
1713, 16syl5eq 2807 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑚) · (𝑥𝑚)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))
1817cbvmptv 4903 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑚) · (𝑥𝑚))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))
199, 18syl6eq 2811 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0))) ∧ ((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑚) · (𝑥𝑚))))) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))))
203, 4, 5, 6, 7, 8, 19coeidlem 24213 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0))) ∧ ((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑚) · (𝑥𝑚))))) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
2120ex 449 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0))) → (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑚) · (𝑥𝑚)))) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))))
2221rexlimdvva 3177 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑚) · (𝑥𝑚)))) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))))
232, 22mpd 15 1 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140  wrex 3052  cun 3714  wss 3716  {csn 4322  cmpt 4882  cima 5270  cfv 6050  (class class class)co 6815  𝑚 cmap 8026  cc 10147  0cc0 10149  1c1 10150   + caddc 10152   · cmul 10154  0cn0 11505  cuz 11900  ...cfz 12540  cexp 13075  Σcsu 14636  Polycply 24160  coeffccoe 24162  degcdgr 24163
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-inf2 8714  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227  ax-addf 10228
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-se 5227  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-isom 6059  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-of 7064  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-pm 8029  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-sup 8516  df-inf 8517  df-oi 8583  df-card 8976  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-rp 12047  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-fl 12808  df-seq 13017  df-exp 13076  df-hash 13333  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sqrt 14195  df-abs 14196  df-clim 14439  df-rlim 14440  df-sum 14637  df-0p 23657  df-ply 24164  df-coe 24166  df-dgr 24167
This theorem is referenced by:  coeid2  24215  plyco  24217  0dgrb  24222  coeaddlem  24225  coemullem  24226  coe11  24229  plycn  24237  plycjlem  24252
  Copyright terms: Public domain W3C validator