MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coeeq2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coeeq2 24043
Description: Compute the coefficient function given a sum expression for the polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrle.1 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
dgrle.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
dgrle.3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
dgrle.4 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧𝑘))))
Assertion
Ref Expression
coeeq2 (𝜑 → (coeff‘𝐹) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0)))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝑘,𝑁   𝜑,𝑘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑆(𝑧,𝑘)   𝐹(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem coeeq2
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgrle.1 . 2 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2 dgrle.2 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
3 simpll 805 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘𝑁) → 𝜑)
4 simpr 476 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑘𝑁)
5 simplr 807 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
6 nn0uz 11760 . . . . . . . 8 0 = (ℤ‘0)
75, 6syl6eleq 2740 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ‘0))
82nn0zd 11518 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
98ad2antrr 762 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
10 elfz5 12372 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘𝑁))
117, 9, 10syl2anc 694 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘𝑁))
124, 11mpbird 247 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
13 dgrle.3 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
143, 12, 13syl2anc 694 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘𝑁) → 𝐴 ∈ ℂ)
15 0cnd 10071 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘𝑁) → 0 ∈ ℂ)
1614, 15ifclda 4153 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘𝑁, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
17 eqid 2651 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))
1816, 17fmptd 6425 . 2 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0)):ℕ0⟶ℂ)
19 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2017fvmpt2 6330 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0) ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))
2119, 16, 20syl2anc 694 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))
2221neeq1d 2882 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) ≠ 0 ↔ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0) ≠ 0))
23 iffalse 4128 . . . . . . 7 𝑘𝑁 → if(𝑘𝑁, 𝐴, 0) = 0)
2423necon1ai 2850 . . . . . 6 (if(𝑘𝑁, 𝐴, 0) ≠ 0 → 𝑘𝑁)
2522, 24syl6bi 243 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
2625ralrimiva 2995 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
27 nfv 1883 . . . . 5 𝑚(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)
28 nffvmpt1 6237 . . . . . . 7 𝑘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚)
29 nfcv 2793 . . . . . . 7 𝑘0
3028, 29nfne 2923 . . . . . 6 𝑘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0
31 nfv 1883 . . . . . 6 𝑘 𝑚𝑁
3230, 31nfim 1865 . . . . 5 𝑘(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚𝑁)
33 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚))
3433neeq1d 2882 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚 → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) ≠ 0 ↔ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0))
35 breq1 4688 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘𝑁𝑚𝑁))
3634, 35imbi12d 333 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚 → ((((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ↔ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚𝑁)))
3727, 32, 36cbvral 3197 . . . 4 (∀𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚𝑁))
3826, 37sylib 208 . . 3 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚𝑁))
39 plyco0 23993 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0)):ℕ0⟶ℂ) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0)) “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚𝑁)))
402, 18, 39syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0)) “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚𝑁)))
4138, 40mpbird 247 . 2 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0)) “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
42 dgrle.4 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧𝑘))))
43 nfcv 2793 . . . . . 6 𝑚(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧𝑘))
44 nfcv 2793 . . . . . . 7 𝑘 ·
45 nfcv 2793 . . . . . . 7 𝑘(𝑧𝑚)
4628, 44, 45nfov 6716 . . . . . 6 𝑘(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) · (𝑧𝑚))
47 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚 → (𝑧𝑘) = (𝑧𝑚))
4833, 47oveq12d 6708 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚 → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) · (𝑧𝑚)))
4943, 46, 48cbvsumi 14471 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑚 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) · (𝑧𝑚))
50 elfznn0 12471 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
5150adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
52 elfzle2 12383 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘𝑁)
5352adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘𝑁)
5453iftrued 4127 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → if(𝑘𝑁, 𝐴, 0) = 𝐴)
5513adantlr 751 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5654, 55eqeltrd 2730 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → if(𝑘𝑁, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
5751, 56, 20syl2anc 694 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))
5857, 54eqtrd 2685 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = 𝐴)
5958oveq1d 6705 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = (𝐴 · (𝑧𝑘)))
6059sumeq2dv 14477 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧𝑘)))
6149, 60syl5eqr 2699 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑚 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) · (𝑧𝑚)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧𝑘)))
6261mpteq2dva 4777 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) · (𝑧𝑚))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧𝑘))))
6342, 62eqtr4d 2688 . 2 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) · (𝑧𝑚))))
641, 2, 18, 41, 63coeeq 24028 1 (𝜑 → (coeff‘𝐹) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  ifcif 4119  {csn 4210   class class class wbr 4685  cmpt 4762  cima 5146  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  cle 10113  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  ...cfz 12364  cexp 12900  Σcsu 14460  Polycply 23985  coeffccoe 23987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-0p 23482  df-ply 23989  df-coe 23991
This theorem is referenced by:  dgrle  24044  aareccl  24126  elaa2lem  40768
  Copyright terms: Public domain W3C validator