Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1z Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1z 19681
 Description: The coefficient vector of 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1z.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
coe1z.z 0 = (0g𝑃)
coe1z.y 𝑌 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
coe1z (𝑅 ∈ Ring → (coe10 ) = (ℕ0 × {𝑌}))

Proof of Theorem coe1z
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fconst6g 6132 . . . . 5 (𝑎 ∈ ℕ0 → (1𝑜 × {𝑎}):1𝑜⟶ℕ0)
21adantl 481 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (1𝑜 × {𝑎}):1𝑜⟶ℕ0)
3 nn0ex 11336 . . . . 5 0 ∈ V
4 1on 7612 . . . . . 6 1𝑜 ∈ On
54elexi 3244 . . . . 5 1𝑜 ∈ V
63, 5elmap 7928 . . . 4 ((1𝑜 × {𝑎}) ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↔ (1𝑜 × {𝑎}):1𝑜⟶ℕ0)
72, 6sylibr 224 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (1𝑜 × {𝑎}) ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜))
8 eqidd 2652 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎})) = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎})))
9 eqid 2651 . . . . 5 (1𝑜 mPoly 𝑅) = (1𝑜 mPoly 𝑅)
10 psr1baslem 19603 . . . . 5 (ℕ0𝑚 1𝑜) = {𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}
11 coe1z.y . . . . 5 𝑌 = (0g𝑅)
12 coe1z.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
13 coe1z.z . . . . . 6 0 = (0g𝑃)
149, 12, 13ply1mpl0 19673 . . . . 5 0 = (0g‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
154a1i 11 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 1𝑜 ∈ On)
16 ringgrp 18598 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
179, 10, 11, 14, 15, 16mpl0 19489 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 0 = ((ℕ0𝑚 1𝑜) × {𝑌}))
18 fconstmpt 5197 . . . 4 ((ℕ0𝑚 1𝑜) × {𝑌}) = (𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ 𝑌)
1917, 18syl6eq 2701 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 0 = (𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ 𝑌))
20 eqidd 2652 . . 3 (𝑏 = (1𝑜 × {𝑎}) → 𝑌 = 𝑌)
217, 8, 19, 20fmptco 6436 . 2 (𝑅 ∈ Ring → ( 0 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))) = (𝑎 ∈ ℕ0𝑌))
2212ply1ring 19666 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
23 eqid 2651 . . . 4 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
2423, 13ring0cl 18615 . . 3 (𝑃 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑃))
25 eqid 2651 . . . 4 (coe10 ) = (coe10 )
26 eqid 2651 . . . 4 (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎})) = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))
2725, 23, 12, 26coe1fval2 19628 . . 3 ( 0 ∈ (Base‘𝑃) → (coe10 ) = ( 0 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))))
2822, 24, 273syl 18 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (coe10 ) = ( 0 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))))
29 fconstmpt 5197 . . 3 (ℕ0 × {𝑌}) = (𝑎 ∈ ℕ0𝑌)
3029a1i 11 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (ℕ0 × {𝑌}) = (𝑎 ∈ ℕ0𝑌))
3121, 28, 303eqtr4d 2695 1 (𝑅 ∈ Ring → (coe10 ) = (ℕ0 × {𝑌}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  {csn 4210   ↦ cmpt 4762   × cxp 5141   ∘ ccom 5147  Oncon0 5761  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  1𝑜c1o 7598   ↑𝑚 cmap 7899  ℕ0cn0 11330  Basecbs 15904  0gc0g 16147  Ringcrg 18593   mPoly cmpl 19401  Poly1cpl1 19595  coe1cco1 19596 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-tset 16007  df-ple 16008  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-subrg 18826  df-psr 19404  df-mpl 19406  df-opsr 19408  df-psr1 19598  df-ply1 19600  df-coe1 19601 This theorem is referenced by:  coe1fzgsumd  19720  decpmatid  20623  pmatcollpwscmatlem1  20642  fta1blem  23973  hbtlem2  38011
 Copyright terms: Public domain W3C validator