Theorem coe1z 19681

Description: The coefficient vector of 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1z.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1z.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
coe1z.y	⊢ 𝑌 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
coe1z	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (coe1‘ 0 ) = (ℕ0 × {𝑌}))

Proof of Theorem coe1z

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconst6g 6132	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → (1𝑜 × {𝑎}):1𝑜⟶ℕ0)
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (1𝑜 × {𝑎}):1𝑜⟶ℕ0)
3		nn0ex 11336	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
4		1on 7612	. . . . . 6 ⊢ 1𝑜 ∈ On
5	4	elexi 3244	. . . . 5 ⊢ 1𝑜 ∈ V
6	3, 5	elmap 7928	. . . 4 ⊢ ((1𝑜 × {𝑎}) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↔ (1𝑜 × {𝑎}):1𝑜⟶ℕ0)
7	2, 6	sylibr 224	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (1𝑜 × {𝑎}) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜))
8		eqidd 2652	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎})) = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎})))
9		eqid 2651	. . . . 5 ⊢ (1𝑜 mPoly 𝑅) = (1𝑜 mPoly 𝑅)
10		psr1baslem 19603	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) = {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}
11		coe1z.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (0g‘𝑅)
12		coe1z.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
13		coe1z.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
14	9, 12, 13	ply1mpl0 19673	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
15	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1𝑜 ∈ On)
16		ringgrp 18598	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
17	9, 10, 11, 14, 15, 16	mpl0 19489	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 = ((ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) × {𝑌}))
18		fconstmpt 5197	. . . 4 ⊢ ((ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) × {𝑌}) = (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ 𝑌)
19	17, 18	syl6eq 2701	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 = (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ 𝑌))
20		eqidd 2652	. . 3 ⊢ (𝑏 = (1𝑜 × {𝑎}) → 𝑌 = 𝑌)
21	7, 8, 19, 20	fmptco 6436	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 0 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))) = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ 𝑌))
22	12	ply1ring 19666	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
23		eqid 2651	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
24	23, 13	ring0cl 18615	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑃))
25		eqid 2651	. . . 4 ⊢ (coe1‘ 0 ) = (coe1‘ 0 )
26		eqid 2651	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎})) = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))
27	25, 23, 12, 26	coe1fval2 19628	. . 3 ⊢ ( 0 ∈ (Base‘𝑃) → (coe1‘ 0 ) = ( 0 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))))
28	22, 24, 27	3syl 18	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (coe1‘ 0 ) = ( 0 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))))
29		fconstmpt 5197	. . 3 ⊢ (ℕ0 × {𝑌}) = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ 𝑌)
30	29	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℕ0 × {𝑌}) = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ 𝑌))
31	21, 28, 30	3eqtr4d 2695	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (coe1‘ 0 ) = (ℕ0 × {𝑌}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  {csn 4210   ↦ cmpt 4762   × cxp 5141   ∘ ccom 5147  Oncon0 5761  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  1_𝑜c1o 7598   ↑_𝑚 cmap 7899  ℕ₀cn0 11330  Basecbs 15904  0_gc0g 16147  Ringcrg 18593   mPoly cmpl 19401  Poly₁cpl1 19595  coe₁cco1 19596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-tset 16007  df-ple 16008  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-subrg 18826  df-psr 19404  df-mpl 19406  df-opsr 19408  df-psr1 19598  df-ply1 19600  df-coe1 19601

This theorem is referenced by:  coe1fzgsumd  19720  decpmatid  20623  pmatcollpwscmatlem1  20642  fta1blem  23973  hbtlem2  38011