Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1sclmulfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1sclmulfv 19875
 Description: A single coefficient of a polynomial multiplied on the left by a scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1sclmul.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
coe1sclmul.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1sclmul.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
coe1sclmul.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
coe1sclmul.t = (.r𝑃)
coe1sclmul.u · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
coe1sclmulfv ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐴𝑋) 𝑌))‘ 0 ) = (𝑋 · ((coe1𝑌)‘ 0 )))

Proof of Theorem coe1sclmulfv
StepHypRef Expression
1 coe1sclmul.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
2 coe1sclmul.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑃)
3 coe1sclmul.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝑅)
4 coe1sclmul.a . . . . . 6 𝐴 = (algSc‘𝑃)
5 coe1sclmul.t . . . . . 6 = (.r𝑃)
6 coe1sclmul.u . . . . . 6 · = (.r𝑅)
71, 2, 3, 4, 5, 6coe1sclmul 19874 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → (coe1‘((𝐴𝑋) 𝑌)) = ((ℕ0 × {𝑋}) ∘𝑓 · (coe1𝑌)))
873expb 1114 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵)) → (coe1‘((𝐴𝑋) 𝑌)) = ((ℕ0 × {𝑋}) ∘𝑓 · (coe1𝑌)))
983adant3 1127 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (coe1‘((𝐴𝑋) 𝑌)) = ((ℕ0 × {𝑋}) ∘𝑓 · (coe1𝑌)))
109fveq1d 6355 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐴𝑋) 𝑌))‘ 0 ) = (((ℕ0 × {𝑋}) ∘𝑓 · (coe1𝑌))‘ 0 ))
11 simp3 1133 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℕ0)
12 nn0ex 11510 . . . . 5 0 ∈ V
1312a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ℕ0 ∈ V)
14 simp2l 1242 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → 𝑋𝐾)
15 simp2r 1243 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → 𝑌𝐵)
16 eqid 2760 . . . . . 6 (coe1𝑌) = (coe1𝑌)
17 eqid 2760 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
1816, 2, 1, 17coe1f 19803 . . . . 5 (𝑌𝐵 → (coe1𝑌):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
19 ffn 6206 . . . . 5 ((coe1𝑌):ℕ0⟶(Base‘𝑅) → (coe1𝑌) Fn ℕ0)
2015, 18, 193syl 18 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (coe1𝑌) Fn ℕ0)
21 eqidd 2761 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1𝑌)‘ 0 ) = ((coe1𝑌)‘ 0 ))
2213, 14, 20, 21ofc1 7086 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (((ℕ0 × {𝑋}) ∘𝑓 · (coe1𝑌))‘ 0 ) = (𝑋 · ((coe1𝑌)‘ 0 )))
2311, 22mpdan 705 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (((ℕ0 × {𝑋}) ∘𝑓 · (coe1𝑌))‘ 0 ) = (𝑋 · ((coe1𝑌)‘ 0 )))
2410, 23eqtrd 2794 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐴𝑋) 𝑌))‘ 0 ) = (𝑋 · ((coe1𝑌)‘ 0 )))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340  {csn 4321   × cxp 5264   Fn wfn 6044  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814   ∘𝑓 cof 7061  ℕ0cn0 11504  Basecbs 16079  .rcmulr 16164  Ringcrg 18767  algSccascl 19533  Poly1cpl1 19769  coe1cco1 19770 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-ofr 7064  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-oi 8582  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-seq 13016  df-hash 13332  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-tset 16182  df-ple 16183  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-mhm 17556  df-submnd 17557  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-mulg 17762  df-subg 17812  df-ghm 17879  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-abl 18416  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-subrg 19000  df-lmod 19087  df-lss 19155  df-ascl 19536  df-psr 19578  df-mvr 19579  df-mpl 19580  df-opsr 19582  df-psr1 19772  df-vr1 19773  df-ply1 19774  df-coe1 19775 This theorem is referenced by:  deg1mul3le  24095  hbtlem2  38214  coe1sclmulval  42701
 Copyright terms: Public domain W3C validator