Theorem coe1mul3 24058

Description: The coefficient vector of multiplication in the univariate polynomial ring, at indices high enough that at most one component can be active in the sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1mul3.s	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
coe1mul3.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑌)
coe1mul3.u	⊢ · = (.r‘𝑅)
coe1mul3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
coe1mul3.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
coe1mul3.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
coe1mul3.f1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
coe1mul3.f2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ0)
coe1mul3.f3	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ 𝐼)
coe1mul3.g1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
coe1mul3.g2	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
coe1mul3.g3	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ≤ 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
coe1mul3	⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 ∙ 𝐺))‘(𝐼 + 𝐽)) = (((coe1‘𝐹)‘𝐼) · ((coe1‘𝐺)‘𝐽)))

Proof of Theorem coe1mul3

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1mul3.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		coe1mul3.f1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
3		coe1mul3.g1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
4		coe1mul3.s	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
5		coe1mul3.t	. . . . 5 ⊢ ∙ = (.r‘𝑌)
6		coe1mul3.u	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7		coe1mul3.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
8	4, 5, 6, 7	coe1mul 19842	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘(𝐹 ∙ 𝐺)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘(𝑥 − 𝑦)))))))
9	1, 2, 3, 8	syl3anc 1477	. . 3 ⊢ (𝜑 → (coe1‘(𝐹 ∙ 𝐺)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘(𝑥 − 𝑦)))))))
10	9	fveq1d 6354	. 2 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 ∙ 𝐺))‘(𝐼 + 𝐽)) = ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘(𝑥 − 𝑦))))))‘(𝐼 + 𝐽)))
11		coe1mul3.f2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ0)
12		coe1mul3.g2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
13	11, 12	nn0addcld 11547	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 𝐽) ∈ ℕ0)
14		oveq2 6821	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐼 + 𝐽) → (0...𝑥) = (0...(𝐼 + 𝐽)))
15		oveq1 6820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐼 + 𝐽) → (𝑥 − 𝑦) = ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))
16	15	fveq2d 6356	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐼 + 𝐽) → ((coe1‘𝐺)‘(𝑥 − 𝑦)) = ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)))
17	16	oveq2d 6829	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐼 + 𝐽) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘(𝑥 − 𝑦))) = (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))
18	14, 17	mpteq12dv 4885	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐼 + 𝐽) → (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘(𝑥 − 𝑦)))) = (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)))))
19	18	oveq2d 6829	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐼 + 𝐽) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘(𝑥 − 𝑦))))) = (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))))
20		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘(𝑥 − 𝑦)))))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘(𝑥 − 𝑦))))))
21		ovex 6841	. . . 4 ⊢ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))) ∈ V
22	19, 20, 21	fvmpt 6444	. . 3 ⊢ ((𝐼 + 𝐽) ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘(𝑥 − 𝑦))))))‘(𝐼 + 𝐽)) = (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))))
23	13, 22	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘(𝑥 − 𝑦))))))‘(𝐼 + 𝐽)) = (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))))
24		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
25		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
26		ringmnd 18756	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
27	1, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
28		ovexd 6843	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...(𝐼 + 𝐽)) ∈ V)
29	11	nn0red 11544	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
30		nn0addge1 11531	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → 𝐼 ≤ (𝐼 + 𝐽))
31	29, 12, 30	syl2anc 696	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ (𝐼 + 𝐽))
32		fznn0 12625	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 + 𝐽) ∈ ℕ0 → (𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ≤ (𝐼 + 𝐽))))
33	13, 32	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ≤ (𝐼 + 𝐽))))
34	11, 31, 33	mpbir2and 995	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)))
35	1	adantr 472	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → 𝑅 ∈ Ring)
36		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (coe1‘𝐹) = (coe1‘𝐹)
37	36, 7, 4, 24	coe1f 19783	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
38	2, 37	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (coe1‘𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
39		elfznn0 12626	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
40		ffvelrn 6520	. . . . . . 7 ⊢ (((coe1‘𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
41	38, 39, 40	syl2an 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → ((coe1‘𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
42		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘𝐺)
43	42, 7, 4, 24	coe1f 19783	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
44	3, 43	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
45		fznn0sub 12566	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) → ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦) ∈ ℕ0)
46		ffvelrn 6520	. . . . . . 7 ⊢ (((coe1‘𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅) ∧ ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦) ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)) ∈ (Base‘𝑅))
47	44, 45, 46	syl2an 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)) ∈ (Base‘𝑅))
48	24, 6	ringcl 18761	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)) ∈ (Base‘𝑅)) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) ∈ (Base‘𝑅))
49	35, 41, 47, 48	syl3anc 1477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) ∈ (Base‘𝑅))
50		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)))) = (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))
51	49, 50	fmptd 6548	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)))):(0...(𝐼 + 𝐽))⟶(Base‘𝑅))
52		eldifsn 4462	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ((0...(𝐼 + 𝐽)) ∖ {𝐼}) ↔ (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ∧ 𝑦 ≠ 𝐼))
53	39	adantl 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → 𝑦 ∈ ℕ0)
54	53	nn0red 11544	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → 𝑦 ∈ ℝ)
55	29	adantr 472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → 𝐼 ∈ ℝ)
56	54, 55	lttri2d 10368	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → (𝑦 ≠ 𝐼 ↔ (𝑦 < 𝐼 ∨ 𝐼 < 𝑦)))
57	3	ad2antrr 764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → 𝐺 ∈ 𝐵)
58	45	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦) ∈ ℕ0)
59	58	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦) ∈ ℕ0)
60		coe1mul3.d	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
61	60, 4, 7	deg1xrcl 24041	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
62	3, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
63	62	ad2antrr 764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
64	12	nn0red 11544	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℝ)
65	64	rexrd 10281	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℝ*)
66	65	ad2antrr 764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → 𝐽 ∈ ℝ*)
67	13	nn0red 11544	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 𝐽) ∈ ℝ)
68	67	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → (𝐼 + 𝐽) ∈ ℝ)
69	68, 54	resubcld 10650	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦) ∈ ℝ)
70	69	rexrd 10281	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦) ∈ ℝ*)
71	70	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦) ∈ ℝ*)
72		coe1mul3.g3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ≤ 𝐽)
73	72	ad2antrr 764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → (𝐷‘𝐺) ≤ 𝐽)
74	64	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → 𝐽 ∈ ℝ)
75	54, 55, 74	ltadd1d 10812	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → (𝑦 < 𝐼 ↔ (𝑦 + 𝐽) < (𝐼 + 𝐽)))
76	54, 74, 68	ltaddsub2d 10820	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → ((𝑦 + 𝐽) < (𝐼 + 𝐽) ↔ 𝐽 < ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)))
77	75, 76	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → (𝑦 < 𝐼 ↔ 𝐽 < ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)))
78	77	biimpa 502	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → 𝐽 < ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))
79	63, 66, 71, 73, 78	xrlelttrd 12184	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → (𝐷‘𝐺) < ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))
80	60, 4, 7, 25, 42	deg1lt 24056	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦) ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝐺) < ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)) → ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)) = (0g‘𝑅))
81	57, 59, 79, 80	syl3anc 1477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)) = (0g‘𝑅))
82	81	oveq2d 6829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · (0g‘𝑅)))
83	24, 6, 25	ringrz 18788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅)) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
84	35, 41, 83	syl2anc 696	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
85	84	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
86	82, 85	eqtrd 2794	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g‘𝑅))
87	2	ad2antrr 764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → 𝐹 ∈ 𝐵)
88	53	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℕ0)
89	60, 4, 7	deg1xrcl 24041	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
90	2, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
91	90	ad2antrr 764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
92	29	rexrd 10281	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ*)
93	92	ad2antrr 764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → 𝐼 ∈ ℝ*)
94	54	rexrd 10281	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → 𝑦 ∈ ℝ*)
95	94	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
96		coe1mul3.f3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ 𝐼)
97	96	ad2antrr 764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → (𝐷‘𝐹) ≤ 𝐼)
98		simpr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → 𝐼 < 𝑦)
99	91, 93, 95, 97, 98	xrlelttrd 12184	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → (𝐷‘𝐹) < 𝑦)
100	60, 4, 7, 25, 36	deg1lt 24056	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝑦) → ((coe1‘𝐹)‘𝑦) = (0g‘𝑅))
101	87, 88, 99, 100	syl3anc 1477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → ((coe1‘𝐹)‘𝑦) = (0g‘𝑅))
102	101	oveq1d 6828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = ((0g‘𝑅) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))
103	24, 6, 25	ringlz 18787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g‘𝑅) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g‘𝑅))
104	35, 47, 103	syl2anc 696	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → ((0g‘𝑅) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g‘𝑅))
105	104	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → ((0g‘𝑅) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g‘𝑅))
106	102, 105	eqtrd 2794	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g‘𝑅))
107	86, 106	jaodan 861	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ (𝑦 < 𝐼 ∨ 𝐼 < 𝑦)) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g‘𝑅))
108	107	ex 449	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → ((𝑦 < 𝐼 ∨ 𝐼 < 𝑦) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g‘𝑅)))
109	56, 108	sylbid 230	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → (𝑦 ≠ 𝐼 → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g‘𝑅)))
110	109	impr 650	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ∧ 𝑦 ≠ 𝐼)) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g‘𝑅))
111	52, 110	sylan2b 493	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((0...(𝐼 + 𝐽)) ∖ {𝐼})) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g‘𝑅))
112	111, 28	suppss2 7498	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝐼})
113	24, 25, 27, 28, 34, 51, 112	gsumpt 18561	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))) = ((𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))‘𝐼))
114		fveq2 6352	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → ((coe1‘𝐹)‘𝑦) = ((coe1‘𝐹)‘𝐼))
115		oveq2 6821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦) = ((𝐼 + 𝐽) − 𝐼))
116	115	fveq2d 6356	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)) = ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝐼)))
117	114, 116	oveq12d 6831	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (((coe1‘𝐹)‘𝐼) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝐼))))
118		ovex 6841	. . . . 5 ⊢ (((coe1‘𝐹)‘𝐼) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝐼))) ∈ V
119	117, 50, 118	fvmpt 6444	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) → ((𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))‘𝐼) = (((coe1‘𝐹)‘𝐼) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝐼))))
120	34, 119	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))‘𝐼) = (((coe1‘𝐹)‘𝐼) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝐼))))
121	11	nn0cnd 11545	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℂ)
122	12	nn0cnd 11545	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℂ)
123	121, 122	pncan2d 10586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 + 𝐽) − 𝐼) = 𝐽)
124	123	fveq2d 6356	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝐼)) = ((coe1‘𝐺)‘𝐽))
125	124	oveq2d 6829	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐹)‘𝐼) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝐼))) = (((coe1‘𝐹)‘𝐼) · ((coe1‘𝐺)‘𝐽)))
126	113, 120, 125	3eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))) = (((coe1‘𝐹)‘𝐼) · ((coe1‘𝐺)‘𝐽)))
127	10, 23, 126	3eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 ∙ 𝐺))‘(𝐼 + 𝐽)) = (((coe1‘𝐹)‘𝐼) · ((coe1‘𝐺)‘𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  Vcvv 3340   ∖ cdif 3712  {csn 4321   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  ℝcr 10127  0cc0 10128   + caddc 10131  ℝ^*cxr 10265   < clt 10266   ≤ cle 10267   − cmin 10458  ℕ₀cn0 11484  ...cfz 12519  Basecbs 16059  ._rcmulr 16144  0_gc0g 16302   Σ_g cgsu 16303  Mndcmnd 17495  Ringcrg 18747  Poly₁cpl1 19749  coe₁cco1 19750   deg₁ cdg1 24013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-ofr 7063  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-sup 8513  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-hash 13312  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-mulg 17742  df-ghm 17859  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-abl 18396  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-cring 18750  df-psr 19558  df-mpl 19560  df-opsr 19562  df-psr1 19752  df-ply1 19754  df-coe1 19755  df-cnfld 19949  df-mdeg 24014  df-deg1 24015

This theorem is referenced by:  coe1mul4  24059