MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1mul3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1mul3 24058
Description: The coefficient vector of multiplication in the univariate polynomial ring, at indices high enough that at most one component can be active in the sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1mul3.s 𝑌 = (Poly1𝑅)
coe1mul3.t = (.r𝑌)
coe1mul3.u · = (.r𝑅)
coe1mul3.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
coe1mul3.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
coe1mul3.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
coe1mul3.f1 (𝜑𝐹𝐵)
coe1mul3.f2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ0)
coe1mul3.f3 (𝜑 → (𝐷𝐹) ≤ 𝐼)
coe1mul3.g1 (𝜑𝐺𝐵)
coe1mul3.g2 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
coe1mul3.g3 (𝜑 → (𝐷𝐺) ≤ 𝐽)
Assertion
Ref Expression
coe1mul3 (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘(𝐼 + 𝐽)) = (((coe1𝐹)‘𝐼) · ((coe1𝐺)‘𝐽)))

Proof of Theorem coe1mul3
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1mul3.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 coe1mul3.f1 . . . 4 (𝜑𝐹𝐵)
3 coe1mul3.g1 . . . 4 (𝜑𝐺𝐵)
4 coe1mul3.s . . . . 5 𝑌 = (Poly1𝑅)
5 coe1mul3.t . . . . 5 = (.r𝑌)
6 coe1mul3.u . . . . 5 · = (.r𝑅)
7 coe1mul3.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑌)
84, 5, 6, 7coe1mul 19842 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (coe1‘(𝐹 𝐺)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘(𝑥𝑦)))))))
91, 2, 3, 8syl3anc 1477 . . 3 (𝜑 → (coe1‘(𝐹 𝐺)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘(𝑥𝑦)))))))
109fveq1d 6354 . 2 (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘(𝐼 + 𝐽)) = ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘(𝑥𝑦))))))‘(𝐼 + 𝐽)))
11 coe1mul3.f2 . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ ℕ0)
12 coe1mul3.g2 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
1311, 12nn0addcld 11547 . . 3 (𝜑 → (𝐼 + 𝐽) ∈ ℕ0)
14 oveq2 6821 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐼 + 𝐽) → (0...𝑥) = (0...(𝐼 + 𝐽)))
15 oveq1 6820 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐼 + 𝐽) → (𝑥𝑦) = ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))
1615fveq2d 6356 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐼 + 𝐽) → ((coe1𝐺)‘(𝑥𝑦)) = ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)))
1716oveq2d 6829 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐼 + 𝐽) → (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘(𝑥𝑦))) = (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))
1814, 17mpteq12dv 4885 . . . . 5 (𝑥 = (𝐼 + 𝐽) → (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘(𝑥𝑦)))) = (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)))))
1918oveq2d 6829 . . . 4 (𝑥 = (𝐼 + 𝐽) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘(𝑥𝑦))))) = (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))))
20 eqid 2760 . . . 4 (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘(𝑥𝑦)))))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘(𝑥𝑦))))))
21 ovex 6841 . . . 4 (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))) ∈ V
2219, 20, 21fvmpt 6444 . . 3 ((𝐼 + 𝐽) ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘(𝑥𝑦))))))‘(𝐼 + 𝐽)) = (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))))
2313, 22syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘(𝑥𝑦))))))‘(𝐼 + 𝐽)) = (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))))
24 eqid 2760 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
25 eqid 2760 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
26 ringmnd 18756 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
271, 26syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
28 ovexd 6843 . . . 4 (𝜑 → (0...(𝐼 + 𝐽)) ∈ V)
2911nn0red 11544 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ ℝ)
30 nn0addge1 11531 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → 𝐼 ≤ (𝐼 + 𝐽))
3129, 12, 30syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑𝐼 ≤ (𝐼 + 𝐽))
32 fznn0 12625 . . . . . 6 ((𝐼 + 𝐽) ∈ ℕ0 → (𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ≤ (𝐼 + 𝐽))))
3313, 32syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ≤ (𝐼 + 𝐽))))
3411, 31, 33mpbir2and 995 . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)))
351adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → 𝑅 ∈ Ring)
36 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (coe1𝐹) = (coe1𝐹)
3736, 7, 4, 24coe1f 19783 . . . . . . . 8 (𝐹𝐵 → (coe1𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
382, 37syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (coe1𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
39 elfznn0 12626 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
40 ffvelrn 6520 . . . . . . 7 (((coe1𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((coe1𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
4138, 39, 40syl2an 495 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → ((coe1𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
42 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (coe1𝐺) = (coe1𝐺)
4342, 7, 4, 24coe1f 19783 . . . . . . . 8 (𝐺𝐵 → (coe1𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
443, 43syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (coe1𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
45 fznn0sub 12566 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) → ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦) ∈ ℕ0)
46 ffvelrn 6520 . . . . . . 7 (((coe1𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅) ∧ ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦) ∈ ℕ0) → ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)) ∈ (Base‘𝑅))
4744, 45, 46syl2an 495 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)) ∈ (Base‘𝑅))
4824, 6ringcl 18761 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)) ∈ (Base‘𝑅)) → (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) ∈ (Base‘𝑅))
4935, 41, 47, 48syl3anc 1477 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) ∈ (Base‘𝑅))
50 eqid 2760 . . . . 5 (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)))) = (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))
5149, 50fmptd 6548 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)))):(0...(𝐼 + 𝐽))⟶(Base‘𝑅))
52 eldifsn 4462 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ((0...(𝐼 + 𝐽)) ∖ {𝐼}) ↔ (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ∧ 𝑦𝐼))
5339adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → 𝑦 ∈ ℕ0)
5453nn0red 11544 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → 𝑦 ∈ ℝ)
5529adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → 𝐼 ∈ ℝ)
5654, 55lttri2d 10368 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → (𝑦𝐼 ↔ (𝑦 < 𝐼𝐼 < 𝑦)))
573ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → 𝐺𝐵)
5845adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦) ∈ ℕ0)
5958adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦) ∈ ℕ0)
60 coe1mul3.d . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐷 = ( deg1𝑅)
6160, 4, 7deg1xrcl 24041 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺𝐵 → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
623, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
6362ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
6412nn0red 11544 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐽 ∈ ℝ)
6564rexrd 10281 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐽 ∈ ℝ*)
6665ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → 𝐽 ∈ ℝ*)
6713nn0red 11544 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐼 + 𝐽) ∈ ℝ)
6867adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → (𝐼 + 𝐽) ∈ ℝ)
6968, 54resubcld 10650 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦) ∈ ℝ)
7069rexrd 10281 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦) ∈ ℝ*)
7170adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦) ∈ ℝ*)
72 coe1mul3.g3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐷𝐺) ≤ 𝐽)
7372ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → (𝐷𝐺) ≤ 𝐽)
7464adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → 𝐽 ∈ ℝ)
7554, 55, 74ltadd1d 10812 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → (𝑦 < 𝐼 ↔ (𝑦 + 𝐽) < (𝐼 + 𝐽)))
7654, 74, 68ltaddsub2d 10820 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → ((𝑦 + 𝐽) < (𝐼 + 𝐽) ↔ 𝐽 < ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)))
7775, 76bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → (𝑦 < 𝐼𝐽 < ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)))
7877biimpa 502 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → 𝐽 < ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))
7963, 66, 71, 73, 78xrlelttrd 12184 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → (𝐷𝐺) < ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))
8060, 4, 7, 25, 42deg1lt 24056 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺𝐵 ∧ ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦) ∈ ℕ0 ∧ (𝐷𝐺) < ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)) → ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)) = (0g𝑅))
8157, 59, 79, 80syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)) = (0g𝑅))
8281oveq2d 6829 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (((coe1𝐹)‘𝑦) · (0g𝑅)))
8324, 6, 25ringrz 18788 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅)) → (((coe1𝐹)‘𝑦) · (0g𝑅)) = (0g𝑅))
8435, 41, 83syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → (((coe1𝐹)‘𝑦) · (0g𝑅)) = (0g𝑅))
8584adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → (((coe1𝐹)‘𝑦) · (0g𝑅)) = (0g𝑅))
8682, 85eqtrd 2794 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g𝑅))
872ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → 𝐹𝐵)
8853adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℕ0)
8960, 4, 7deg1xrcl 24041 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
902, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
9190ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
9229rexrd 10281 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐼 ∈ ℝ*)
9392ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → 𝐼 ∈ ℝ*)
9454rexrd 10281 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → 𝑦 ∈ ℝ*)
9594adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
96 coe1mul3.f3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐷𝐹) ≤ 𝐼)
9796ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → (𝐷𝐹) ≤ 𝐼)
98 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → 𝐼 < 𝑦)
9991, 93, 95, 97, 98xrlelttrd 12184 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → (𝐷𝐹) < 𝑦)
10060, 4, 7, 25, 36deg1lt 24056 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝐵𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷𝐹) < 𝑦) → ((coe1𝐹)‘𝑦) = (0g𝑅))
10187, 88, 99, 100syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → ((coe1𝐹)‘𝑦) = (0g𝑅))
102101oveq1d 6828 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = ((0g𝑅) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))
10324, 6, 25ringlz 18787 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g𝑅) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g𝑅))
10435, 47, 103syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → ((0g𝑅) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g𝑅))
105104adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → ((0g𝑅) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g𝑅))
106102, 105eqtrd 2794 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g𝑅))
10786, 106jaodan 861 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ (𝑦 < 𝐼𝐼 < 𝑦)) → (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g𝑅))
108107ex 449 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → ((𝑦 < 𝐼𝐼 < 𝑦) → (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g𝑅)))
10956, 108sylbid 230 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → (𝑦𝐼 → (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g𝑅)))
110109impr 650 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ∧ 𝑦𝐼)) → (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g𝑅))
11152, 110sylan2b 493 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ((0...(𝐼 + 𝐽)) ∖ {𝐼})) → (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g𝑅))
112111, 28suppss2 7498 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝐼})
11324, 25, 27, 28, 34, 51, 112gsumpt 18561 . . 3 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))) = ((𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))‘𝐼))
114 fveq2 6352 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐼 → ((coe1𝐹)‘𝑦) = ((coe1𝐹)‘𝐼))
115 oveq2 6821 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐼 → ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦) = ((𝐼 + 𝐽) − 𝐼))
116115fveq2d 6356 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐼 → ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)) = ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝐼)))
117114, 116oveq12d 6831 . . . . 5 (𝑦 = 𝐼 → (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (((coe1𝐹)‘𝐼) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝐼))))
118 ovex 6841 . . . . 5 (((coe1𝐹)‘𝐼) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝐼))) ∈ V
119117, 50, 118fvmpt 6444 . . . 4 (𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) → ((𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))‘𝐼) = (((coe1𝐹)‘𝐼) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝐼))))
12034, 119syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))‘𝐼) = (((coe1𝐹)‘𝐼) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝐼))))
12111nn0cnd 11545 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ ℂ)
12212nn0cnd 11545 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ ℂ)
123121, 122pncan2d 10586 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐼 + 𝐽) − 𝐼) = 𝐽)
124123fveq2d 6356 . . . 4 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝐼)) = ((coe1𝐺)‘𝐽))
125124oveq2d 6829 . . 3 (𝜑 → (((coe1𝐹)‘𝐼) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝐼))) = (((coe1𝐹)‘𝐼) · ((coe1𝐺)‘𝐽)))
126113, 120, 1253eqtrd 2798 . 2 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1𝐹)‘𝑦) · ((coe1𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))) = (((coe1𝐹)‘𝐼) · ((coe1𝐺)‘𝐽)))
12710, 23, 1263eqtrd 2798 1 (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘(𝐼 + 𝐽)) = (((coe1𝐹)‘𝐼) · ((coe1𝐺)‘𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  Vcvv 3340  cdif 3712  {csn 4321   class class class wbr 4804  cmpt 4881  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  cr 10127  0cc0 10128   + caddc 10131  *cxr 10265   < clt 10266  cle 10267  cmin 10458  0cn0 11484  ...cfz 12519  Basecbs 16059  .rcmulr 16144  0gc0g 16302   Σg cgsu 16303  Mndcmnd 17495  Ringcrg 18747  Poly1cpl1 19749  coe1cco1 19750   deg1 cdg1 24013
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-ofr 7063  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-sup 8513  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-hash 13312  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-mulg 17742  df-ghm 17859  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-abl 18396  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-cring 18750  df-psr 19558  df-mpl 19560  df-opsr 19562  df-psr1 19752  df-ply1 19754  df-coe1 19755  df-cnfld 19949  df-mdeg 24014  df-deg1 24015
This theorem is referenced by:  coe1mul4  24059
  Copyright terms: Public domain W3C validator