MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1mul2lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1mul2lem2 19686
Description: An equivalence for coe1mul2 19687. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
coe1mul2lem2.h 𝐻 = {𝑑 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ 𝑑𝑟 ≤ (1𝑜 × {𝑘})}
Assertion
Ref Expression
coe1mul2lem2 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻1-1-onto→(0...𝑘))
Distinct variable groups:   𝐻,𝑐   𝑐,𝑑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑘,𝑑)

Proof of Theorem coe1mul2lem2
StepHypRef Expression
1 df1o2 7617 . . . . 5 1𝑜 = {∅}
2 nn0ex 11336 . . . . 5 0 ∈ V
3 0ex 4823 . . . . 5 ∅ ∈ V
4 eqid 2651 . . . . 5 (𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) = (𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅))
51, 2, 3, 4mapsnf1o2 7947 . . . 4 (𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–1-1-onto→ℕ0
6 f1of1 6174 . . . 4 ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–1-1→ℕ0)
75, 6ax-mp 5 . . 3 (𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–1-1→ℕ0
8 coe1mul2lem2.h . . . . 5 𝐻 = {𝑑 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ 𝑑𝑟 ≤ (1𝑜 × {𝑘})}
9 ssrab2 3720 . . . . 5 {𝑑 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ 𝑑𝑟 ≤ (1𝑜 × {𝑘})} ⊆ (ℕ0𝑚 1𝑜)
108, 9eqsstri 3668 . . . 4 𝐻 ⊆ (ℕ0𝑚 1𝑜)
1110a1i 11 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0𝐻 ⊆ (ℕ0𝑚 1𝑜))
12 f1ores 6189 . . 3 (((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–1-1→ℕ0𝐻 ⊆ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻))
137, 11, 12sylancr 696 . 2 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻))
14 coe1mul2lem1 19685 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑑 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → (𝑑𝑟 ≤ (1𝑜 × {𝑘}) ↔ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)))
1514rabbidva 3219 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → {𝑑 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ 𝑑𝑟 ≤ (1𝑜 × {𝑘})} = {𝑑 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)})
16 fveq1 6228 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑑 → (𝑐‘∅) = (𝑑‘∅))
1716eleq1d 2715 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑑 → ((𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘) ↔ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)))
1817cbvrabv 3230 . . . . . . . 8 {𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘)} = {𝑑 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)}
1915, 18syl6eqr 2703 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → {𝑑 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ 𝑑𝑟 ≤ (1𝑜 × {𝑘})} = {𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘)})
204mptpreima 5666 . . . . . . 7 ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘)) = {𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘)}
2119, 8, 203eqtr4g 2710 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0𝐻 = ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘)))
2221imaeq2d 5501 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) = ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘))))
23 f1ofo 6182 . . . . . . 7 ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–onto→ℕ0)
245, 23ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–onto→ℕ0
25 fz0ssnn0 12473 . . . . . 6 (0...𝑘) ⊆ ℕ0
26 foimacnv 6192 . . . . . 6 (((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–onto→ℕ0 ∧ (0...𝑘) ⊆ ℕ0) → ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘))) = (0...𝑘))
2724, 25, 26mp2an 708 . . . . 5 ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘))) = (0...𝑘)
2822, 27syl6eq 2701 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) = (0...𝑘))
2928f1oeq3d 6172 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) ↔ ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→(0...𝑘)))
30 resmpt 5484 . . . 4 (𝐻 ⊆ (ℕ0𝑚 1𝑜) → ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻) = (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)))
31 f1oeq1 6165 . . . 4 (((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻) = (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)) → (((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→(0...𝑘) ↔ (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻1-1-onto→(0...𝑘)))
3211, 30, 313syl 18 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→(0...𝑘) ↔ (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻1-1-onto→(0...𝑘)))
3329, 32bitrd 268 . 2 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) ↔ (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻1-1-onto→(0...𝑘)))
3413, 33mpbid 222 1 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻1-1-onto→(0...𝑘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1523  wcel 2030  {crab 2945  wss 3607  c0 3948  {csn 4210   class class class wbr 4685  cmpt 4762   × cxp 5141  ccnv 5142  cres 5145  cima 5146  1-1wf1 5923  ontowfo 5924  1-1-ontowf1o 5925  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑟 cofr 6938  1𝑜c1o 7598  𝑚 cmap 7899  0cc0 9974  cle 10113  0cn0 11330  ...cfz 12364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365
This theorem is referenced by:  coe1mul2  19687
  Copyright terms: Public domain W3C validator